2024年泛非数学奥林匹克
公众号原标题：2024年泛非数学奥林匹克——中文翻译
2024年泛非数学奥林匹克
{程国根 译}
第一天
1. 求所有正整数$a,b,c$，使得$\frac{a+b}{a+c}=\frac{b+c}{b+a}$，且$ab+bc+ca$为素数．
2. 在$\triangle ABC$中，$M$为边$BC$的中点，$N$为线段$AM$的中点，过点$N$且和直线$AC$相切于点$A$的圆与$AB$再次交于点$P$．求证：$\triangle BPM$的外接圆和直线$AM$相切．
3. 给定整数$n\geq 1$，Jo-Ané交替地在一个$2n+1$行和$2n+1$列的正方形网格的单元格中写X和O：她先在一个单元格中写一个X，然后在第二个单元格中写一个O，接着在第三个单元格中写一个X，以此类推．当表格全部填满后，将她的得分计为$\mathcal{X}+ \mathcal{O}$，其中$\mathcal{X}$为X个数多于O个数的行数，$\mathcal{O}$是O个数多于X个数的列数．求Jo-Ané可能得到的最高分数（用$n$表示）．
第二天
4. 在数轴上取$m$条线段，每条线段的两个端点都在整数集合$\{1,2,\cdots,2024\}$中，且任意两条线段的长度都不相等，没有一条线段完全包含在另一条线段中，但两条线段之间可能部分重叠．求$m$的最大可能值．
5. 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意实数$x,y$，都有$f(x^2) - y f(y) = f(x+y)(f(x)-y)$．
6. 求所有整数$n$，使得$n^{7}-41$为完全平方数．
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\section*{2024年泛非数学奥林匹克}\flushright{程国根\quad 译}\section*{第一天}\ex 求所有正整数$a,b,c$，使得$\frac{a+b}{a+c}=\frac{b+c}{b+a}$，且$ab+bc+ca$为素数．\vfill\ex 在$\triangle ABC$中，$M$为边$BC$的中点，$N$为线段$AM$的中点，过点$N$且和直线$AC$相切于点$A$的圆与$AB$再次交于点$P$．求证：$\triangle BPM$的外接圆和直线$AM$相切． \par\centerline{\includegraphics[scale=0.2]{2024PAMO-2.png}}\vfill\ex 给定整数$n\geq 1$，Jo-Ané交替地在一个$2n+1$行和$2n+1$列的正方形网格的单元格中写X和O：她先在一个单元格中写一个X，然后在第二个单元格中写一个O，接着在第三个单元格中写一个X，以此类推．当表格全部填满后，将她的得分计为$\mathcal{X}+ \mathcal{O}$，其中$\mathcal{X}$为X个数多于O个数的行数，$\mathcal{O}$是O个数多于X个数的列数．求Jo-Ané可能得到的最高分数（用$n$表示）．\vfill\section*{第二天}\ex 在数轴上取$m$条线段，每条线段的两个端点都在整数集合$\{1,2,\cdots,2024\}$中，且任意两条线段的长度都不相等，没有一条线段完全包含在另一条线段中，但两条线段之间可能部分重叠．求$m$的最大可能值．\vfill\ex 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意实数$x,y$，都有$f(x^2) - y f(y) = f(x+y)(f(x)-y)$．\vfill\ex 求所有整数$n$，使得$n^{7}-41$为完全平方数．\vfill
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