用向量法证明一个“七心连珠”结论

本问题是我在中学时代参加外培时首次听到，时隔多年，只记得这个美妙的结论（其实现在来看是比较平凡的）与“七心连珠”这个名字了．昨天上课时突然想起，用向量法给学生讲了一个简单的证明．

“七心连珠”问题叙述

在中，分别在边上，且满足．设 与 的内心、外心、重心、垂心、九点圆圆心、Spieker 点、Nagel 点依次记为

则七组对应点的连线彼此平行，且都平行于 的内角平分线．

一、简化问题

熟知欧拉线上的 与第二欧拉线（Nagel 线）上的 分别共线，且相应分点比固定（留给读者自行证明）．故只需证明外心、内心、重心三组对应连线平行．

令 分别为 的中点．重心把中线按 分点，故

以 为中心、比例 的同一位似把 分别变为 ，所以

二、中点连线与内心连线

设 ，并以 表示沿 的单位向量．则

因 ，指向 的内角平分线，故

又 ，所以

三、外心连线

以 为原点，令

由外心到顶点等距，

故

又

于是

四、结论

由 –，

再利用欧拉线与 Nagel 线上的固定分点关系，其余四组对应连线也继承同一方向．因此