40道2021年沙特阿拉伯IMO集训队训练题

设为一个非等腰的锐角三角形，，，分别为三边的高，为垂心，为外接圆在点处的切线．过点作的平行线，分别交于点，交于点．求证：直线和的-旁切圆相切．

设为一个非等腰的锐角三角形，为垂心，为外心，为圆的直径．设圆交于另一点，交于另一点．记和分别为的垂心和九点圆圆心．求证：，且．

设为一个非等腰的锐角三角形，为外心，和为高．记交圆于另一点，交圆于另一点．点在，，上的射影分别为，，．求证：的垂直平分线平分线段和．

设的内切圆和，，分别切于点，，．在直线上取点，，使得，．在直线上取点，，使得，．记为和的交点，为线段的中点．求证：若，则．

在矩形中，点在线段上．记为圆的劣弧上的一点，且满足．记为圆的劣弧上的一点，且满足．直线和圆交于另一点，直线和圆交于另一点．求证：．

过外一点作的两条切线，．上三点，，满足．直线交于点，交于点．在上取一点，在上取一点，使得，．求证：．

设为等腰三角形（）的高．以的中点为圆心的圆和，相切．设为直线上任意一个定点，过作的两条切线，分别交，于点，，证明：．

设为一个非等腰三角形，内切圆为，外接圆为，点在线段上，圆交于另一点，圆交于另一点，圆交于另一点，交于另一点．和交于点，和交于点．求证：，，三线平行，且中顶点所对应的中线平分中的弧．

设内接于，为中过中点的直径（，在异侧）．过点，的一个圆交于，两点（在，之间）．直线交圆于另一点．求证：、、、四点共圆，且为的类似中线．

为的一条弦，记为劣弧的中点．和相切，和内切．过点分别作，的垂线，交于点，．求证：．

三个圆，，分别和直线相切于点，，（在，之间），且和，均外切．设、分别为与、另一条外公切线在上的切点．过点作的垂线交于另一点．求证：以为直径的圆和直线，相切．

设的外心为，内心为，顶点所对的旁心为．记点为在边上的切点，的平分线和交于点，和交于点．圆和圆交于另一点．求证：直线过圆和圆的一个交点．

在四边形中，，．记的中点为点，，．求证：．

设为圆上一条固定的弦，为优弧上一个动点．点为的垂心，点在上，点在上，且满足为的中点．求证：随着的变化，的外心在一个定圆上运动．

凸四边形内部一点满足，．求证：．

设为一个非等腰的锐角三角形，外心为，内心为，内切圆分别和，，切于点，，．设直线和交于，两点，求证：圆平分过线段的中点．

设为一个非等腰的锐角三角形，外心为．在，两点处的切线交于点．过的直线交线段于点，交射线于点．为的中点，交于另一点．求证：圆和圆相切．

在中，，内切圆和切于点．上一点满足．设和交于另一点，和交于点．求证：为的中点．

在中，，外接圆为在点处的切线和交于点．设点在上的射影为，在上的射影为，在上的射影为．直线和交于，两点，求证：圆和相切．

设为一个非等腰的锐角三角形，为一条高，为的中点，为外心．直线和交于点，以点为圆心，为半径的圆和交于另一点，和交于另一点．求证：平分．

四边形内接于圆，对角线和交于点，射线和交于点，射线和交于点．四边形的牛顿线分别交，，，于点，，，．求证：以为直径的圆和圆，圆均相切．

，，为非等腰三角形的三条高，垂心为．设和交于点，和交于点，点为的外心．求证：．

的陪位重心为点，外接圆半径为．作平行四边形，，，使得，，．设，，两两相交于点，，．求证：的内切圆半径为．

在中，为的中点，为所对的旁心，为所对的旁心．求证：，和，的四个交点共圆．

魔术师和他的助手表演一个魔术．观众在黑板上写下一个位数，然后助手盖住一些相邻的数位，使它们无法被看见．最后，魔术师进入节目，他看向黑板并猜测被盖住的数字及其顺序．已知魔术师和助手可以提前商量策略，求最小的，使得魔术师总能猜对．

给定一个无穷数列，，，，满足对任意正整数，存在正整数使得．问：这个数列是否一定为周期数列？

个人中的每个人都从一个元集合中选择了个元素，使得任意两个人至多选择了个相同的元素．问：是否一定有？将改为，再回答本题．

求所有正整数，使得能在正边形的每个顶点不重复地写上数字到，满足对任意三个顶点，，，如果，那么顶点上写的数字同时大于或同时小于顶点和上写的数字．

求证：无法在的方格中填入到（每个数字只用一次），使得对每个的方格，其对角线上两个数字乘积之差均等于．

对正整数，记为满足除以的余数大于的正整数的个数．问：，，，中有多少个不同的数？

给定正整数，正整数，已知集合能被划分为若干个子集，使得在每个子集中，存在一个数等于该子集中其余所有数之和，求的最小值．

设为正整数，正整数数列，，，中每一项均不为的倍数．对，定义如下：设在，，，中，除以余数最小的那一项为，令（如果有多个满足条件的，则取下标最大的那一项）．求证：存在，使得对于任意，都有．

称正整数“远离平方数和立方数”的，如果对于任意整数，都有，．求证：存在无穷多个正整数，使得“远离平方数和立方数”．

设多项式的所有系数均为正整数，且次数．数列满足：，．求证：对于任意正整数，存在素数满足，．

为一个非常数整系数多项式，为正整数．数列，，定义如下：，对，．已知对于任意正整数，数列中均存在某个大于的整数的次方．求证：．

礼堂的第一排有个座位，其中有个座位已被观众占据．证明：在这些观众两两之间的距离中，必有两个相等．

正整数，给定个互异的正整数，，，，其中每个都不是完全立方数．问：这些数两两的乘积中，最多有多少个完全立方数？

求证：可以将任意非完全平方数的所有正因子组成的集合划分为若干子集，使得每个子集中的任意两个数都存在整除关系．

是否存在互异的正整数，，，，，，，，满足对于的任意非空子集，整除．

给定正整数，，使得，且，，，均为合数．求证：存在互异的素数，，，，使得对任意正整数，都有．