Mathematical Reflections 2023年第四期征解题

\documentclass{ctexart}\usepackage{amsfonts}\usepackage{amsmath}\usepackage{enumitem}\usepackage{geometry}\usepackage{setspace}\geometry{a5paper,left=1cm,right=1cm,top=2cm,bottom=2cm}\usepackage{hyperref}\begin{document}\begin{spacing}{1.2}\section*{Mathematical Reflections 2023年第四期征解题}\section*{Junior Problems}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}{\bf J631.}求最小的正整数$n$，使得$n^{4}-2023n^{2}+1$是两个素数的乘积．\vfill{\bf J632.}设$a,b,c$为正实数，且$a+b+c=3$．求证：$$\frac{1}{a(b+c)^{5}}+\frac{1}{b(c+a)^{5}}+\frac{1}{c(a+b)^{5}}\ge\frac{5}{32}.$$\vfill{\bf J633.}设$a,b,c,t$为正实数，$t\ge 1$．求证：$$\frac{ta^{3}+a^{2}b}{a+b}+\frac{tb^{3}+b^{2}c}{b+c}+\frac{tc^{3}+c^{2}a}{c+a}\ge\frac{t+1}{2}(ab+bc+ca).$$\vfill{\bf J634.}求证：对每个正整数$n$，方程$x^{2}+xy+y^{2}=(xy)^{n}$都没有除$(0,0)$外的整数解$(x,y)$．\vfill{\bf J635.}正实数$a,b,c$满足$a^{4}-23a^{2}+1=0$，$b^{4}-23b^{2}+1=0$，$c^{4}-23c^{2}+1=0$．求证：存在整数$n$，使得$$a^{2}b^{2}c^{2}-nabc+1=(ab+1)(bc+1)(ca+1).$$\vfill{\bf J636.}正实数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=3$．求证：$$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\le\frac{a+b+c}{2}.$$\vfill\newpage\section*{Mathematical Reflections 2023年第四期征解题}\section*{Senior Problems}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}{\bf S631.}求所有正整数$n$，使得$(n-1)!+(n+1)^{2}=(n^{2}-41)(n^{2}+49)$．\vfill{\bf S632.}求如下方程组的实数解：$$\begin{cases}238^{x}+2016^{y}=2030^{z}\\238^{y}+2016^{z}=2030^{x}\\238^{z}+2016^{x}=2030^{y}\end{cases}.$$\vfill{\bf S633.}在凸四边形$ABCD$中，$CD=CB$，$\angle BCD=180^{\circ}-2\angle BAD$．点$A$在$BD$上的射影为$E$，点$E$在$AD$、$AB$上的射影分别为$F$和$K$．设$O$为线段$AE$的中点，$X$为$AC$和$FK$的交点．求证：$OX=AO\cos\angle BAD$．\vfill{\bf S634.}求证：不存在整数$a$，$b$，$c$，使得$$a^{3}-b^{2}-c^{2}+abc=5.$$\vfill{\bf S635.}求所有有理数$x$，使得$$x^{3}-[x]^{3}-\{x\}^{3}=\frac{162}{5}.$$其中$[x]$和$\{x\}$分别为$x$的整数部分和小数部分．\vfill{\bf S636.}求证：对任意素数$p$，$7^{p}+13^{p}+2023^{p}$的数码和都不是素数．\vfill\newpage\section*{Mathematical Reflections 2023年第四期征解题}\section*{Undergraduate Problems}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}{\bf U631.}计算：$$\int_{2}^{3}\frac{(x^{2}+2)\sqrt{x^{4}-x^{2}+4}}{x^{3}}\mathrm{d}x.$$\vfill{\bf U632.}设$H_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$．计算：$$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n+2}}{n(n+1)}.$$\vfill{\bf U633.}计算：$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln\sqrt[3]{n}\cdot \ln(n+3)}{\sum\limits_{1\le i< j\le n}\dfrac{1}{ij}}$$\vfill{\bf U634.}设点$A_{1}$，$A_{2}$，$\cdots$，$A_{n}$在单位圆上．求证：单位圆上存在一点$P$，使得$$PA_{1}+PA_{2}+\cdots+PA_{n}\ge\frac{4n}{\pi}.$$\vfill{\bf U635.}计算：$$\int_{0}^{1}\frac{\sin x\sin\pi x}{\cos\dfrac{2x-1}{2}}\mathrm{d}x.$$\vfill{\bf U636.}计算：$$\iiint\limits_{D}e^{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}}\frac{zy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac{3}{2}}}\frac{(\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})  -1)^{3}}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$$其中$D=\{(x,y,z)\mid (z-1)^{2}+y^{2}+x^{2}\le 1\}$．\vfill\newpage\section*{Mathematical Reflections 2023年第四期征解题}\section*{Olympiad Problems}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}{\bf O631.}设正实数$x$，$y$，$z$满足$x+y+z=3$．求证：$$\frac{x}{4y^{2}+yz+4z^{2}}+\frac{y}{4z^{2}+zx+x^{2}}+\frac{z}{4x^{2}+xy+y^{2}}\ge\frac{1}{45}+\frac{14(xy+yz+zx)}{135}.$$\vfill{\bf O632.}求满足以下条件的正整数$n\ge 8$的最大值：能将$n\times n$方格网中的$64$个单元格进行标记，使得每个$2\times 3$或$3\times 2$的矩形均至少覆盖一个被标记的单元格．\vfill{\bf O633.}设$ABCDEF$和$A'B'C'D'E'F'$均为正六边形，且边长相等．设$AA'\cap BB'=X$，$DD'\cap EE'=Y$，$CC'\cap FF'=Z$．求证：$X$，$Y$，$Z$三点共线．\vfill{\bf O634.}设正整数$200<a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$满足：对任意正整数$d$，至多存在$d-1$个连续项，它们以$d$为公差成等差数列．求证：$$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}\le\frac{1}{2}.$$\vfill{\bf O635.}正实数$a$，$b$，$c$满足$a+b+c=3$．求证：$$\frac{128(ab+bc+ca)^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{81}{abc}\ge 225.$$\vfill{\bf O636.}求证：不存在非零的实系数多项式$P(x)$，使得对任意满足$a^{4}+b^{4}+c^{4}=2$的实数$a$，$b$，$c$，都有$$P(-a+b+c)+P(a-b+c)+P(a+b-c)=0.$$\vfill\end{spacing}\end{document}