代数
216 字
三角换元法求一个二元最值
本文部分公式较长，阅读时请注意向右滑动．
题目 已知，为实数，求
（Mathematical Reflection O515）
分析 首先尝试令去猜测取得最值的条件．（一般而言，对称式在变量相等处取得极值）
设
．
则
．
于是
．
因此极值点为．
这是一个不太容易直接由代数变形产生的数字，但注意到它们在三角函数中的特殊性：
与
转而考虑三角换元．由，可取任意实数以及上述分析，我们选择正切函数进行换元．
解答 令，，其中，并记原式为． 则
为书写方便，记，．
于是．
由Cauchy不等式及均值不等式，有
即．
当时，分别取得最大（小）值．
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