2024年土耳其国家队选拔考试

\section*{2024年土耳其国家队选拔考试}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\section*{第一天}\ex 在$\triangle ABC$中，$I$为内心，$O$为外心．直线$AI$和$\triangle ABC$的外接圆另一个交点为$P$．过$I$且垂直于$AI$的直线交$BC$于点$X$，点$X$在$OI$上的射影为$Y$．求证：$A,P,X,Y$四点共圆．\vfill\ex 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意实数$x,y$，都有$$f(x+y)^3=(x+2y)f(x^2)+f(f(y))(x^2+3xy+y^2).$$\vfill\ex 对一个$12$元集合$S$，至多有多少个有序数对$(a,b)$，满足$a,b\in S$且$\frac{b}{a}$为素数？\vfill\section*{第二天}\ex 求所有正整数对$(a,b)$，使得$\frac{10^{a!}-3^{b}+1}{2^{a}}$是一个完全平方数．\vfill\ex 在锐角$\triangle ABC$中，$H$为垂心，$G$为重心．设点$A_{b}$和$A_{c}$分别在$AB$和$AC$上，满足$B,C,A_{b},A_{c}$四点共圆，且$A_{b},A_{c},H$三点共线．设$O_{a}$为$\triangle AA_{b}A_{c}$的外心，类似可定义点$O_{b},O_{c}$．求证：$\triangle O_{a}O_{b}O_{c}$的重心在直线$HG$上．\vfill\ex 对正整数$n$和正实数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$，定义$b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}$如下：$b_{k}=a_{k}+\max(a_{k+1}+a_{k+2})$，$1\le k\le n$（下标均模$n$理解）．求$\lambda$的最小值，使得对任意$n$和$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$，都有$$\lambda \left[ \sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1})^{2024} \right] \geq \sum_{i=1}^n(b_i-b_{i+1})^{2024}.$$\vfill\section*{第三天}\ex 设正整数$r\ge 2$，将每个正整数染成$r$种不同颜色之一．已知：对任意正整数$n$和每一对颜色$a,b$，在$n$的所有正约数中，被染为颜色$a$的约数个数和被染为颜色$b$的约数个数之差不超过$1$．求$r$的所有可能值．\vfill\ex 对正整数$n$，定义$\sigma(n)$为$n$的所有正约数之和．正整数数列$(a_{n})_{n=0}^{\infty}$定义如下：$a_{0}=1$，对任意$n\ge 1$，$a_{n}$是满足  条件$$\sigma{(a_0a_1\dots a_{n-1})} \vert \sigma{(a_0a_1\dots a_{n})},$$且大于$1$的最小正整数．求数列中$2024^{2024}$的约数个数．\vfill\ex 在锐角$\triangle ABC$中，$I$为内心，$O$为外心．直线$IO$和三边$BC,CA,AB$所在直线分别交于点$D,E,F$．设$BE$和$CF$交于点$A_{1}$，类似定义点$B_{1},C_{1}$．设$\triangle ABC$的内切圆与三边$BC,CA,AB$的切点分别为$X,Y,Z$，直线$XA_{1},YB_{1},ZC_{1}$和$IO$分别交于点$A_{2},B_{2},C_{2}$．求证：以$AA_{2},BB_{2},CC_{2}$为直径的圆有一个公共点．\vfill