2024年澳大利亚数学奥林匹克

\section*{2024年澳大利亚数学奥林匹克}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\section*{第一天}\ex 求所有三元正整数组$(k,m,n)$，使得$$k!+m!=k!n!.$$\vfill\ex 设$ABCD$为圆内接四边形．点$P$在直线$CB$上，满足$CP=CA$，且点$B$在$C,P$之间．点$Q$在直线$CD$上，满足$CQ=CA$，且点$D$在$C,Q$之间．求证：$\triangle ABD$的内心在直线$PQ$上．\vfill\ex 设$n\ge 2$，$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$为正实数．对$(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$的一个排列$(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})$，定义其分数为$$\sum_{i=1}^{n-1}\frac{b_{i}^{2}}{b_{i+1}},$$求证：存在$(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$的两个排列，它们的分数不超过$3|a_{1}-a_{n}|$．\vfill\ex 考虑一个$2024\times 2024$的方格网．如果两个不同的单元格有一条共同边，那么称它们是相邻的．将每个单元格染为黑、白二色之一．如果方格网中的每个单元格都与偶数个黑色单元格相邻，那么称这种染色方式是\textbf{偶数的}．求\textbf{偶数的}染色方法总数．\vfill\newpage\section*{2024年澳大利亚数学奥林匹克}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\section*{第二天}\ex 正整数数列$a_{1},a_{2},\cdots,a_{2025}$定义如下：$a_{1}=2^{2024}+1$，且对$1\le n\le 2024$，$a_{n+1}$为$a_{n}^{2}-1$的最大素因子．求$a_{2024}+a_{2025}$的值．\vfill\ex 一所学校有一年级到十二年级，每个年级有$1000$名的学生．学校有$12000$个储物柜，编号为$1$到$12000$．校长要求给每个学生分配自己的储物柜，以满足以下条件：对于同一年级的每一对学生，他们的储物柜编号之差必须能被他们的年级编号整除．校长的要求能被满足吗？\vfill\ex 设$ABCD$为矩形，$P$为边$AB$上一点．点$Q$在矩形外部，满足$\angle ABQ=\angle ADP$，$\angle AQB=90^{\circ}$．点$R$在边$BC$上，满足$\angle BAR=\angle ADQ$．求证：$AR,CQ,DP$三线共点．\vfill\ex 设实数$r=0.d_{0}d_{1}d_{2}\cdots$．用$e_{n}$表示将数码$d_{n},d_{n-1},\cdots,d_{0}$从左到右写成的数字（允许最高位为零）．已知$d_{0}=6$，且对任意$n\ge 0$，$e_{n}$恰等于$e_{n}^{2}$的末$n+1$位组成的数字．求证：$r$为无理数．\vfill