2023跨年题的解答
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题目：
用由个小方格组成的L形（可旋转）和的小方格不重叠地覆盖的正方形棋盘，共有多少种覆盖方法？（旋转、对称后重合的视为不同方法）
答案：
（没错，就是这个神奇的年份数字）
主要思路：
按照第一列和第二列、第二列和第三列、第三列和第四列组成的三个矩形内L形的放置情况分类讨论．
基本图形：
首先枚举矩形内放置L形的所有情况，一共如下种：
但是可以发现，里面有一些图形本质上是一样的，比如考虑对称性时，第2、5、9、12个图形是一样的，这在一会的分类讨论过程中能够减少讨论次数．
我们将基本图形减少为如下种：
每种的个数依次为、、、、、、、、、、
再考虑单独一列被L形覆盖的格子情况，一共只有种情况：
例如，以下基本图形的左列和右列均为第种单列情况．
开始计数：
从第二、三列开始，其中完整的L形共有种覆盖方式．我们考虑在每种覆盖方式下，第一、二列和第三、四列还能放入哪几种基本的图形．
（以下为无趣的枚举，读者可以先自行尝试）
(1)
左右均没有任何限制，方法数为．
(2)
左边为第四种单列情形，故第一、二列可以为第1、7、10、11、12、13种基本图形，共种；
右边为第二种单列情形，故第三、四列可以为第1、4、6、7、8、9、10、11、12、13、22、23、24、25、32、33种基本图形，共种．
此类情况方法数为．
(3)
左边为第四种单列情形（同(2)左边），故第一、二列共种；
右边为第三种单列情形，故第三、四列可以为第1、5、8、10、11、12、13、26、27、28、29种基本图形，共种．
此类情况方法数为．
(4)
左边为第五种单列情形，故第一、二列可以为第1、2、10、15种基本图形，共种；
右边为第三种单列情形（同(3)左边），故第三、四列共种．
此类情况方法数为．
(5)
左边为第十种单列情形，故第一、二列只能为第1种基本图形，共种；
右边为第六种基本图形，故第三、四列可以为第1、4、9、13、24种基本图形，共种．
此类情况方法数为．
(6)
左边为第十种单列情形，故第一、二列只能为第1种基本图形，共种；
右边为第七种基本图形，故第三、四列可以为第1、4、6、7、8、9、12、25种基本图形，共种．
此类情况方法数为．
(7)
左边为第九种单列情形，故第一、二列只能为第1、7、11种基本图形，共种；
右边为第九种单列情形，故第三、四列也共种．
此类情况方法数为．
(8)
左边为第八种单列情形，故第一、二列只能为第1、10种基本图形，共种；
右边为第九种单列情形，故第三、四列共种．
此类情况方法数为．
(9)
左边为第十种单列情形，故第一、二列只能为第1种基本图形，共种；
右边为第五种单列情形，故第三、四列只能为第1、5、13、29种基本图形，共种．
此类情况方法数为．
(10)
左边为第八种单列情形，故第一、二列共种；
右边为第八种单列情形，故第三、四列共种．
此类情况方法数为．
(11)
左边为第八种单列情形，故第一、二列共种；
右边为第八种单列情形，故第三、四列共种．
此类情况方法数为．
综上，方法总数为 
注：
一般的、和的情形可以点击阅读原文查看．（的情形十分复杂）
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