高级组

第一天

1. 设,,,为整数．求证：对任意正整数，存在至少个正整数，使得不为完全平方数．

2. 设为正实数集．求所有函数:，使得对于任意，都有

3. 设四边形内接于圆，圆心为．直线和交于点，直线和交于点．点在线段上，且满足．圆过点和，且和切于点．圆过点和，且和切于点．若和交于,两点，求证：平分．

第二天

4. 圆内接四边形满足，．对角线和交于点，直线和交于点．的角平分线和交于点．求证：的外心在的外接圆上．

5. 学校里有名学生，每个学生恰好有个朋友．称由三个学生组成的集合为“友好三元集”，如果集合中任意两人均是朋友．求友好三元集个数的最大可能值．

6. 记为正整数集．求所有函数：，使得：

• 对任意正整数，都有．
• 对任意，均为正整数．

初级组

第一天

1. 给定正整数和平面上一点，作条过点的直线．求的最大值（依赖于），使得总能将条直线中的条染为红色，满足任意两条红色的线均不垂直．

2. 同高级组第1题

3. 同高级组第2题

第二天

4. 不定方程

   是否有有限多组正整数解．

5. 同高级组第4题

6. 同高级组第5题