本次比赛分两天进行，时间为2021年7月24日和7月25日的18:00-21:00．

第一天

1. 已知非等腰锐角的三条高线分别为，，，其中，，，分别为垂足．，，的外接圆与的外接圆的第二个交点分别为，，，，，与的第二个交点分别为，，，证明：
   （1），，三线交于一点；
   （2），其中，，．

2. 给定正整数，个实数，，，满足：

记，．求，．

3. 个单位正方形排成一行，其中最左侧和最右侧正方形均为黑色，其余个正方形均为白色．随机选取两个相邻白色正方形，并随机将一个正方形染成黑色，重复此过程，直至无两个相邻白色正方形为止．令是剩余白色正方形数目的数学期望．求不超过的最大正整数．

4. 称个单位正方形组成的图为T形块，图为S形块．用若干个S形块和若干个T形块不重叠地覆盖一个的长方形棋盘，且两种形状都可以旋转或翻转，则其中T形块至少有多少个？

第二天

5. 已知非等腰锐角的内心为，边，，的中点分别为，，，，，内的旁切圆分别为，，．，，关于点，，分别对称的圆为，，，，，的根心为，，，的根心为，证明是线段的中点．

6. 求证：

   

7. 对于正整数，定义为在二进制表示下的各位数码之和（例如）．设，请确定除以的余数．

8. 有名数学家参加一次会议，每名数学家在其中恰有个朋友（朋友关系数相互的）．现在任意安排若干名数学家坐在圆桌旁讨论问题，结果发现，如果每个人两侧都坐着自己的朋友，则这一桌的人数不少于．求的最小可能值．