2021年中国女子数学奥林匹克（第一天）

1. ，，，，，，，其中，满足，求证：
   (1)；
   (2)．

2. 内接于圆，、分别是的内心和所对的旁心，点、在圆上，满足，线段的中垂线交直线于点．求证：平分．

3. 求最小的，对的方格表，红黄蓝三染色，满足：(1)每种颜色的方格数目相同；(2)若某行有红格，则该行必有蓝格，且无黄格；(3)若某行有蓝格，则该行必有红格，且无黄格．
   （注：本题似乎有误，(3)中的行应为列，大家可以等待官方版）

4. 称为CGMO数列，若为严格递增的正整数数列．对，满足存在，且为完全平方数．求证：存在常数，，对任意CGMO数列，存在，当时，有．

\usepackage{tikz}\usepackage{tkz-euclide} \begin{tikzpicture}  \tkzDefPoints{0/0/B,5/0/C,4/5/A}  \tkzDefTriangleCenter[circum](A,B,C) \tkzGetPoint{O} %定义三角形ABC外心为O  \tkzInCenter(A,B,C)\tkzGetPoint{I}%定义三角形ABC内心为I  \tkzDefTriangleCenter[ex](B,A,C)\tkzGetPoint{J}%定义三角形ABC中A所对的旁心为J  \tkzDefCircle[diameter](A,I)\tkzGetPoint{A_{1}}%定义AI为直径的圆的圆心为A_{1}  \tkzDefCircle[diameter](A,J)\tkzGetPoint{A_{2}}%定义AJ为直径的圆的圆心为A_{2}  \tkzDefLine[mediator](I,J) \tkzGetPoints{I_{1}}{J_{1}}%定义IJ中垂线且在其上定义两点I_{1}，J_{1}（对称取点）  \tkzInterLL(I_{1},J_{1})(B,C) \tkzGetPoint{K}%定义直线I_{1}J_{1}，BC交点为K  \tkzInterCC(O,A)(A_{1},A)\tkzGetPoints{A}{X}%定义圆O与圆O_{1}交点为A，X  \tkzInterCC(O,A)(A_{2},A)\tkzGetPoints{A}{Y}%定义圆O与圆O_{2}交点为A，Y   \tkzDrawSegments(A,B A,K A,C K,C A,X A,Y X,Y X,I Y,J)  \tkzDrawSegments[dashed](A,J)  \tkzDrawCircle(O,A)  \tkzDrawPoints(O,I,J)  \tkzLabelPoints[below](B,C,K,J)  \tkzLabelPoints[above](A)  \tkzLabelPoints[left](Y)  \tkzLabelPoints[right](X,I,O) \end{tikzpicture}