2025年上海预赛第11题的优雅三进制做法

本题也为1992年英国数学奥林匹克最后一题，我在之前的文章里写过，但当时没有仔细写三进制这个方法。今天再次看到这题，故决定再写一遍。

解答：

（1）

若，则，矛盾．

若，则，，矛盾．

于是，．

（2）

先给出一个满足题意的，在三进制下考虑：

• 若的首位为，则为将的首位改为所得的数；
• 若的首位为，则为将的首位改为，并在末尾加一个所得的数．

容易验证这样的严格递增，且满足，．

（如果是填空题，我们已经可以不负责任地直接写出答案来了。）

注：由上可求得的一个通项公式

正片结束

严谨起见，我们再证明满足题意的至多只有一个：

由．

若，，则

于是，．

即若为连续正整数，则也为连续正整数．

又由（1）知，为连续正整数，可以归纳证明，所有的均唯一确定．

事实上，写到这里，原题基本也就做出来了…所以单从考试角度来看，三进制这个方法是不必要的，但这并不影响方法本身的优雅。