相关链接：2022年基辅市数学奥林匹克（第一轮）——中文翻译

七年级组

1. (1)是否存在正整数和，使得？
   (2)是否存在正整数和，使得？
   这里表示和的最小公倍数．
2. 点处有一个中央火车站，通过轨道连接到其它火车站，，，，且长度均为．对任意到，和之间也有轨道连接（这里），且长度均为．
   列火车，，，，速度分别为，，，．火车只能在上述轨道上双向运行，且转向不耗费时间．如果两列或多列火车在某个时间点相遇，之后它们将和其中速度最快的火车以相同速度一起行驶．
   是否能将火车放置在车展，，，（每个车站一列火车），并安排它们的行驶路线，使得所有火车能在的时间内到达中央火车站？
3. 在中，中线的长度为边长度的一半．求证：．
4. Fedir和Mykhailo有三堆石子：第一堆有块，第二堆有块，第三堆有块．他们进行一个游戏，两人轮流行动，从Fedir开始．在每一次行动中，玩家可以任意选择两堆石子，若它们的剩余石子数分别为和，则从每一堆中取出枚石子．将某一堆石子全部取完者获胜，问谁有必胜策略？
   这里表示和的最大公约数．

八年级组

1. 求所有三元数组，使得

   这里表示和的最小公倍数．
2. 给定整数，，Monica和Bogdan进行一个游戏．首先，Monica写下个正数，如果Bogdan能在平面上找到具有如下性质的个点，则获胜：对于Monica写下的任意数字，存在Bogdan选择的两个点，其距离恰好为．否则Monica获胜．
   根据，的取值确定谁有必胜策略．
3. 非零实数，，，满足以下条件：

   

   求所有的，使得，，，必须全部相等．
4. 在中，，点，，分别在边，，上，且满足，．求证：．

九年级组

1. 求所有三元数组，使得

   这里表示和的最大公约数．
2. 个点排列在一个圆周上，其中一个为黑色，其余为白色．在每次操作中，刺猬可以执行以下操作之一：
   (1)选择两个颜色相同的相邻点，改变它们的颜色（白变黑，黑变白）；
   (2)选择两个颜色不同的相间点（两点之间恰有一个点），改变它们的颜色．
   是否能通过上述操作将每个点的颜色均变成和初始颜色相反．
3. 同八年级组第3题
4. 的外接圆为，内心为，为上不含点的弧上任意一点．点为点关于点的对称点，上含点的弧上一点满足．求证：和的角平分线交点在直线上．

十年级组

1. 正实数，，满足

   

   它们是否必须全部相等？
2. 同九年级组第2题
3. ，，为的三条高．求证：若，则关于的对称直线和的外接圆相切．
4. 素数，整系数多项式满足：不存在整数使得能被整除．求的次数的最小可能值．

十一年级组

1. 同八年级组第2题
2. 起初，计算机的内存中包含一个多项式．每一分钟，计算机从其内存中选择任意多项式，并向内存中写入和，或者从其内存中选择两个不同多项式和，并向内存中写入（在这过程中不会删去任何多项式）．在某段时间后，计算机的内存中是否可能存在多项式？
3. 求最大的，满足存在，，，的一个排列，使得至少有个不同的，令为大于的整数．
4. 为圆内接四边形．平行于的直线和、的内切圆均相切．求证：经过或的内心．