加拿大CRUX杂志问题4711-4720

4711. 的内心为，三个旁心分别为、、．求证：四点系的质心为的外心．

(Sergey Sadov供题)

4712. 设为正整数，对任意，设

      

      求比值的闭式表达式．

(Michel Bataille供题)

4713. 设，为不同的正实数．求证：若存在满足对任意，都有能够整除，则和均为整数．（表示实数的整数部分）

(András Szilárd供题)

4714. 设，定义在上的二阶可微函数在递增且上凸．求证：若，则

      

      其中，且．

(András Szilárd供题)

4715. (1)为一个的矩阵，且其所有元素均为单位圆上的复数，满足．问：是否一定有两行或两列成比例？
      (2)若为的矩阵，情况如何？

(George Stoica供题)

4716. 方程的三个根分别为一个三角形三边的斜率．求这个三角形的欧拉线的斜率．

(Michael Friday供题)

4717. 计算以下积分：

      

(Toyesh Sharma供题)

4718. 、、分别为三角形的三边、、上任意一点．过点作的平行线交于点；过点作的平行线交于点；过点作的平行线交于点．设、、、、、为不同的六点．求证：
      (1)若和交于点，和交于点，和交于点，则、、三点共线；
      (2)若和交于点，和交于点，和交于点，则、、三点共线；

(Pericles Papadopoulos供题)

4719. 给定三角形及其外接圆．为直线上任意一点，定义如下点：
      过作的垂线和交于点；
      过作的垂线和交于点；
      过作的垂线和交于点；
      过作的垂线和交于点；
      过作的垂线和交于点．
      求证：和垂直．

(Neculai Stanciu供题，Editorial Board修改)

4720. 正实数，，满足．求证：

      

(George Apostolopoulos供题)