国家集训队一道数论型函数方程的解答

题目 求所有函数，使得对任意正整数，满足，都有：

其中为欧拉函数．

（China TST 2021, Test 2, Day 2 P4）

分析 注意到和是独立的，我们可以先对进行赋值，从而得到关于的信息．注意到欧拉函数的特殊性，我们将赋值为一些素数．可以看出，对于值域中的每个正整数，都有对于无穷个正整数成立．于是猜测．

解答

令，得对于，．

令，得对于，．

于是对于，有

即．

又，即．

，即．

因此对于，有．

更一般地，我们可以证明：

为任意素数，对于，都有

用数学归纳法证明，时已证．

假设结论对所有小于的素数均成立，考虑时的情形．

令，得对于，

令，得对于，

于是对于，有

即．

令，，有

注意到为合数，其必有一个素因子，满足．可以使用时的结论，将素因子从的括号内拿出来，重复以上操作，即可证明：

于是有．

由上可知，对于任意素数，当时，有．下面将这一限定范围缩小，从而求出．

取充分大的，使得，又，于是

即对于恒成立．

对于任意素数，，由

知为定值，设为．

对于任意的，设．

于是．

特别地，为任意正整数时均无法导出矛盾（这是由于要想由条件得到，只能令，从而得到）．

综上

其中，均为正整数．