用调整法证明2022年CGMO第8题

前言：写完后发现和AoPS上已有的一个解答非常相似，就不标原创了。

2022年中国女子数学奥林匹克第八题如下：

设，，，是非负实数，且总和等于．对，，，，记

这里．记．
证明：当取得最大值时，一定有．

首先写出的具体表达式：

观察其中各个未知数的分布规律，可以发现只以的形式出现，只以的形式出现，只以的形式出现，只以的形式出现，只以的形式出现．

故用代替，不变．

而上述过程等价于令，并令，，，，．（为方便书写，我们仍用，，，，）

于是题目变为：

非负实数，，，，，和为，求

的最大值．

继续找出现次数最少的项，发现是，故对进行调整．和，有关，所以将调整到和，考虑包含这三项的部分：

我们证明：

只需分别证明：

展开后显然成立．

于是我们已将调整为．

故只需求

的最大值．

可以发现上式中与对称，与对称．

所以可继续用调整法证明，时，取最大值．（过程与上面基本相同，不再赘述）

我们设，，．问题变为：

已知非负实数，，满足，求证：

取最大值时，．

用待定系数法凑配系数：

等号成立当且仅当

于是

即

从中消去，得到

设，则．

设，则，故在递减，在递增．且，，于是有唯一正实根，且，即，也即，证毕．