第一天

1. 设：是一个可积函数，且满足对任意，都有．求证：．

2. 对给定的正整数，求所有具有唯一实特征值的实矩阵，使得存在整数，满足．

3. 设为质数．起初，已知跳蚤停留在数轴原点，每一分钟，跳蚤有三种选择：停留在原地，向左或向右跳动一个单位．记为跳蚤在秒后回到原点的方法数．（例如，，因为跳蚤可以一直停留在原点，也可以先向左后向右，或者先向右后向左．）求模的余数．

4. 整数．设为所有中三个不同元素构成的三元有序组组成的集合．将中每个三元有序组染色，使得对任意，和被染成不同颜色，记为满足要求所需的最少颜色数．求证：．

第二天

5. 将正边形的每条边和对角线染成红、蓝二色之一，使得每个顶点都是条红线和条蓝线的端点．如果一个三角形的三条边颜色相同，则称为单色三角形．若存在个蓝色单色三角形，问有多少个红色单色三角形？

6. 设素数．求证：存在的一个排列，使得．

7. 设，，，均为的幂等复矩阵，且满足对任意，都有．求证：其中至少有一个矩阵的秩不超过．

8. 设整数，，为一个圆．在圆上均匀且独立地随机选取个位置放置蓝色点，选择个位置放置红色点．用表示红色点的凸包和蓝色点的凸包的交集．设为凸多边形的边数（特别地，若为空集，则）．求的数学期望．