2023年波兰数学奥林匹克决赛（初级组）

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\begin{spacing}{1.2}
\noindent\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3066520p27669852}{\bf 1.}是否存在实数$x,y,z$，使得$$x+\frac{1}{y}=z,\quad y+\frac{1}{z}=x,\quad z+\frac{1}{x}=y.$$
\vfill
\noindent\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3066528p27669911}{\bf 2.}正整数$a,b$满足$a>b>1$，且$b$是$a$除自身外最大的约数．求证：$a+b$不是$2$的正整数次幂．
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\noindent\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3066522p27669862}{\bf 3.}给定三角形$ABC$，其中$AC<BC$，$\angle ACB=60^{\circ}$．点$D$在线段$AC$上，且$D$异于$A$，满足$AB=BD$；点$E$在线段$BC$上，且$E$异于$B$，满足$AB=AE$．求证：$\angle DEC=30^{\circ}$．
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\noindent\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3066524p27669880}{\bf 4.}$n$为正奇数，将$n$个箭头从左到右依次排列，每个箭头指向左边或右边．求证：存在一个箭头，其指向的箭头个数与指向其的箭头个数相同．\\
注：例如，$n=5$时，在排列$\rightarrow\rightarrow\leftarrow\leftarrow\rightarrow$中，每个箭头所指向的箭头个数依次为$4,3,2,3,0.$
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\noindent\href{https://artofproblemsolving.com/community/c6h3066526p27669889}{\bf 5.}求所有正整数$m,n$，使得$\underbrace{33\ldots3}_{m}\underbrace{66\ldots 6}_{n}$是完全平方数．
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\end{spacing}
\end{document}