一道数论难题的解答

题目 求所有满足的正整数．

引理 对于质数，有

引理的证明 若，则由Fermat小定理：．故

若，由是质数知存在原根，其满足．而，故为模的一个简系．因此

即

回到原题，设，为使成立的正整数．设为的一个质因子，且．
则

所以我们有：若，则．记为条件一．

若存在质数，使得，设．由前面知

故中无平方因子．记为条件二．

下面求同时满足条件一和二的所有正整数，记其集合为．将中任意整数的任一质因子称作-质数．

显然，且为-质数．
容易验证，故为-质数；，故为-质数．

可猜测，若为-质数，且为质数，则为-质数．并由此得到个-质数：．这由容易证明．

下证只有这个-质数，否则存在一个最小的质数（不同于）．设，．则，且为若干个不同的-质数之积．
的质因子必小于，故必为之一，逐一枚举可得矛盾．故-质数只有．

由此可得．