一道一试模拟题的分析过程

今天，天神给我看了一道一试的模拟题，题目如下：

在集合中，能表示成(，)的形式的个数是__________．

开始以为这是一道无穷递降的题目，就是经过一番放缩分析得到这个分式只能是．就像我在之前写的文章 里做的一样。

算了算发现，事情并不简单。

首先设，显然不能为负．否则有，于是有

即

是成立的，此时取即可．

接下来考虑的情形，注意到

这表明，若为方程的一组正整数解，则也为方程的一组解．

以上删除部分是用无穷递降法解此题的错误所在．这里的是一个定值，交换和后方程也随之变化了．

这让我猜测此题应该有多个答案，于是尝试代入，，分别得到如下结果：

1. ，在时，，在时，，故无解；
2. ，此时要做的是代入合适的，让该分式取得一个整数值，这里比较麻烦的是两个，直觉告诉我，应该和有关系，于是设，有

   

   发现取即就可以产生一个平方差公式了．即此时，．

其实做到这里，本题已经得到了解决，在时，将上面的，，替换成，，有

于是本题答案为或，共有个．