第一天

1. 的内切圆和边、分别切于点、，为的内心．求证：和的交点在以为直径的圆上．

2. 对正整数（），求出同时满足以下两个条件的有序整数组的个数：
   (1)对任意，；
   (2)对任意，若，则．

3. 给定奇素数，定义为模的余数，其中为的所有约数中，不为的倍数的最大者．例如：时，，．整数列，，，，定义如下：
   (1)；
   (2)对任意正整数，．
   求所有整数，使得存在无穷多个正整数，满足．

4. 求所有函数：，使得对任意正整数和，为一个不超过的正整数．

第二天

5. 实数列，，定义如下：，，对任意正整数，．求证：对任意正整数，均为有理数．

6. 在等腰中，．为边上异于、的一点，圆和切于点，和切于点．设和的另一个交点为，和外接圆的另一个交点为．求证：、、、四点共圆．

7. 张卡片上不重复地标有从到的数字．将这些卡片放在个盒子里，起初每个盒子里恰有一张卡片．按照以下操作方法将所有卡片放入同一个盒子中：
   选择一个整数（），将标有的卡片放入另一个盒子（不能是空盒子）中，使得该盒子中的卡片编号之和为的倍数．
   求所有正整数，使得存在这样的操作方法，能够将所有的卡片放入同一个盒子中．

8. 求所有有理数组，满足