2023年IMO第一天试题解答

第1题

设是合数的全部正因数，若对任意，均有，求．

解答：

容易验证（为素数）满足题意．

若有至少个不同的素因子，设最小的两个素因子为$p<q$，则$n$的正因数从小到大依次为$1,p,\cdots,p^{t},q,\cdots$．< p=""></q$，则$n$的正因数从小到大依次为$1,p,\cdots,p^{t},q,\cdots$．<>

有，即，由知矛盾．

所以满足题意的全体（为素数）．

第2题

如图，在锐角中，，是外接圆，是弧的中点．过作的垂线交于点、交于点．过作的平行线交直线于点，设的外接圆与交于另一点．求证：在处的切线与直线的交点在的平分线上．

证明：

设为的对径点，为南极点，则和关于对称．

由知，三点共线．

设的平分线交于点，交于，只需证明：为的切线．

延长交于点，则为直角三角形，且由知为斜边中点．

注意到和均过圆心，故，因此为中点，而．

而四点共圆，则由知四点共圆．

于是，即为的切线，证毕．

第3题

给定整数．求所有的无穷正整数数列，使得存在多项式

其中是非负整数，满足

对任意正整数成立．

答案

首项为正整数，公差为非负整数的等差数列．

证明

（1）

由和知．

因为系数均非负，所以在递增．

若存在，使得，即，则．

必存在，使得．取其中最大的一个（最后一次下降），则．

重复上述过程，又有，且，．

于是有无穷多个，满足，且，经过有限项后必小于，与为正整数矛盾！

于是不减．

（2）

若，则，于是．

而，因此．

，故．

向前，向后分别递推得：为常数列．

下设．

（3）

取一个足够大的正整数，满足对恒成立，则

于是，即．

（4）

对固定的，有，设，其中，可能出现的状态至多有种，于是存在一组重复出现无穷多次的，对应的设为．

则对无穷多个成立，而为多项式，必有．

（5）

用数学归纳法证明对成立．

时显然，假设结论对成立，则在时，由

等式右边有因式，于是对无穷多个成立，因此．

于是存在，使得．

若，则有，矛盾！

因此，，由归纳法即证．

设，则．

（6）

取(4)中的（满足，，）．则

于是．

归纳知，从开始为等差数列，公差为．

由单调性知．

向前归纳可得，．

综上所述，满足题意的全体为首项为正整数，公差为非负整数的等差数列．