三道百子遴选考试题目及解答

在5月2日和5月3日举办的百子遴选考试中，我为S5，S8和S9、10三个级别各供了一道题．下面是这三道题目及解答．

本次百子遴选的全部试题见百子菁英计划青少年数学爱好者沙龙（20210502期）各阶段真题速览．

S5第11题

在晚会上，一些人互相握手．已知以下信息：
(1)每个人恰好与个人握手；
(2)如果两个人握过手，则恰好有个人与他们俩同时握手；
(3)如果两个人没有握过手，则恰好有个人与他们俩同时握手．
问：参加晚会的共有多少人？

解答

设共有个人．考虑三人组，其中与、均握手．（设、为无序对）
注意到和是同一个三人组，但和不是同一个三人组．
下面计算这样的三人组的个数．
由于每个人恰好与个人握手，故对于某个确定的，有个这样的三人组．
于是这样的三人组共有个．
另一方面，全部的个人可以组成个二人组，将这些二人组分成两类：互相握过手的（设有个）；没有握过手的（设有个）．
于是．
由于每个人恰好与个人握手，故共进行了次握手（每次握手被计算两次）．
于是．
由后两个条件可知，三人组的个数为：（按照、是否进行握手分类）

于是

即．
于是，即参加晚会的共有人．

S8第9题

为不小于的正整数，求证：

证明

由柯西不等式，时，有

以及

于是

S9、10第3题

设的所有系数均为正整数，且次数．数列满足：，．求证：对于任意正整数，存在素数满足，．

证明

使用反证法．假设存在一个正整数，使得的所有素因子均为、、、之一的素因子．设为的任意一个素因子，，其中．于是

接下来，可以用数学归纳法证明：

对于任意正整数，都有．
这是由于

于是有

记为的素因数分解中素数的指数，则． 因此

由假设知，必存在正整数（），使得．重复上面的过程可以得到：

于是有．这表明对于的所有素因子，其在中的次数与在、、、之一中的次数相等．即．
于是有．又，即．
因此

于是

矛盾！

因此对于任意正整数，存在素数满足，．