2026年阿尔·花剌子密初中数学竞赛

第一天

题1. 设为等腰三角形，满足．记的外接圆为，圆心为．设是上不含点的弧上任意一点，且异于和．
过点作直线的平行线，交直线于点；过点作直线的平行线，交直线于点．
证明：点、、三点共线．

题2. 玛丽亚选取四个不一定互不相同的非负实数，满足

随后她将这些数填入下表：

在表格的每一行中，玛丽亚将三个单元格分别涂成蓝色、绿色和红色（每行每种颜色恰好一个），要求：蓝色单元格中的数不大于该行另外两个数，红色单元格中的数不小于该行另外两个数．
设分别为所有蓝色、绿色、红色单元格中的数之和。求以下表达式的最大可能值：
(i) ；
(ii) ．

题3. 某学校有1000名学生，每名学生都有若干颗糖果，且所有学生的糖果数恰好是1到1000之间互不相同的整数．
学生们被分成500对，要求每一对中恰好有一名学生的糖果数为偶数，另一名为奇数．随后在每一对中，糖果数较多的学生将自己一半的糖果分给搭档．
设操作完成后，所有学生中不同糖果数的个数为．求的最小可能值，并找出所有能达到该最小值的配对方式．

题4. 证明：不存在正整数，使得

第二天

题5. 设为整数，满足．证明：

是一个完全平方数．

题6. 设为正合数，其所有正约数按从小到大排列为

假设对任意，都满足以下条件：

• 若是合数，则整除；
• 若是质数，则整除．

求的所有可能值．

题7. 设为整数．贝赫鲁兹别克在一个正边形的顶点中标记了个顶点．求最小的（用表示），使得无论贝赫鲁兹别克如何选择这个顶点，其中总能找到四个不同的标记顶点，它们恰好是一个筝形的四个顶点．

（四边形（不一定是凸四边形）称为筝形，若它的某一条对角线的垂直平分线经过的另外两个顶点．）

题8. 伊姆龙有一辆故障汽车，在一张的棋盘上行驶．汽车从格子出发，初始朝向可以是上、下、左、右中的任意一个．

每一步操作中，汽车只能执行以下两种动作之一：
(1)沿当前朝向向前移动一格；
(2)先顺时针旋转，再沿新的朝向向前移动一格．

若汽车可以遍历棋盘上的所有格子，且每个格子恰好被访问一次（起始格子视为初始已访问），则称起始格子为好格子．求所有的好格子．