题目

求所有合数 ，使得对任意正整数 ，若 ，则 ．

答案

分析

本题的关键在于按素因子取模，并设法控制指数 ．若有两个不同素因子，可取，使得．此时题设中的指数被固定为，再模（其中）观察，由可得到．

当 变化时，会遍历模的约系，因此模的约系中每个元素都满足同一个幂同余．这个限制非常强：若，取，由二项式展开便会推出，与且矛盾．所以多素因子情形下，必无平方因子．

进一步，在模 下取原根可得．若有三个不同奇素因子，取最大的为，再取另外两个素因子，即可推出，与矛盾．故多素因子情形只可能是两个不同奇素数的乘积．

单素因子情形则令 ，取 ，从整除条件中比较所含 的幂次，可得必须 ．由此得到全部候选．

证明

先排除偶数情形．若偶数 含有奇素因子，令．由中国剩余定理，可取，使得且．令，则且．由题设，模得，矛盾．因此偶数解只能是．

若 ，取，则题设要求．但，右端所含的幂次恰为，矛盾．故偶数情形只剩，它包含在型中．

以下设 为奇数，且至少有两个不同素因子．任取两个不同素因子，设．令，其中且．于是，并且．由题设，模得

由于 ，所以 ．当 变化时，遍历模 的约系，故

若 ，在式中取．由二项式展开，，从而．但且，矛盾．因此，在含有多个素因子的情形下，必无平方因子．

于是式 化为模的结论：模的约系中每个元素的次幂都等于．取模的原根，得．

若 有三个不同奇素因子，取最大的为，再取另外两个不同素因子．由上式分别得到和，相减得．但且，所以，矛盾．

因此，多素因子情形只能是 ，其中 为不同奇素数．

接下来处理单素因子情形．设 ．因为 为合数，所以 ．取 ，则 ，题设要求

括号内模 同余于 ，因此不被 整除．所以该和式中所含 的幂次恰为 ，从而必须 ．

综上，必要性已经证明．

反之，与 均可直接代入验证满足题设．故全部解为