用Abel变换和加强归纳解一道高联代数题

2021年高联A2卷加试第三题是一个代数最值问题，题目如下：

给定整数．设非负实数满足，．求的最小值．

分析：

先猜测取等，由条件，优先猜测变量全部相等或有变量取零．经试验，发现当以及，时，均取得．可合理猜测即为最小值，下面进行证明．

尝试总结出本题的一些关键特征：“问题和正整数有关“、“变量有序的关系（不减）”、“要处理若干乘积之和”，我们考虑使用数学归纳法和Abel变换．

记，则

这里已经建立起了与的关系，且每个的系数均非负，故可以进行放缩，而这需要存在不等关系，可以考虑使用第二数学归纳法．

在尝试直接用数学归纳法证明时，我们会遇到新的问题：在的情形下，情形的前提条件不一定成立（事实上，若条件成立，必有，而这不是恒成立的）．所以直接使用数学归纳法失败了．

一般而言，在直接使用数学归纳法失败时，我们可以尝试进行加强归纳，主要途径有两种：加强条件（即证明结论对更一般的情况成立）、加强结论（这个很好理解），本题是在条件方面出了问题，所以我们将条件加强．

由可知，这一组变量是“头重脚轻“的，所以如果将条件加强为，那么我么可以由推出，都有．这样就完成了本题的证明．

具体过程如下：

解答：

对任意，记．

取，得．

下证：，都有，从而的最小值为．

将原命题加强为：

给定正整数，设非负实数满足，，则．

用第二数学归纳法进行证明：

（1）时，，结论成立．

（2）假设时，结论成立．那么时，

由知，，

即．由Abel变换和归纳假设：

于是时，结论成立．

由（1）（2）知，结论成立，即最小值为．

注：

一般而言，在结论仍成立的前提下，适当加强命题进行归纳证明，能大大简化证明过程．这也是数学归纳法的独特之处，加强命题的同时也加强了归纳递推过程中的条件．

可以通过以下简单例子进行理解：

定义如下：，，，．求证：对任意正整数，．

读者可以尝试直接归纳、加强为、加强为三种方法，体会其中区别．

加强归纳的方法在数论和组合问题中也有不少妙用，但核心是找到合适的加强命题．