第一天

1. 以锐角三边为边向外作矩形，和．如果

   

   求证：，，三线共点．（同USAJMO第2题）
2. 平面国家公园是欧几里德平面的一个子集，由多条在路口相交的小路组成．每条小路在两个不同的路口都有其两个端点，而每个路口恰好是三条小路的端点．两条小路只会在路口处有交点，且交点只能为其端点．每条小路的两个端点不在同一个路口．（公园的一种可能布局示例如下图，其中有六个路口和九条小路．）游客按以下步骤穿过公园：她从一个路口开始，沿着小路散步．在第一条路的尽头，她进入路口并向左转．在下一个路口，她向右转，依此类推，在每个路口交替左转和右转．一直这样走，直至回到起点．在公园的所有可能布局中，步行期间进入任何路口的最大次数是多少？
3. 为整数．有一块的木板，初始是空的．在每一分钟，可以完成下列三个操作之一：

• 如果木板上有个单元格组成的形区域（如下图，不允许旋转），且其中都没有石头，则可以在这个单元格中各放置一块石头；
• 如果某一行的每一个单元格中均有石头，则可以将这一行的所有石头移除；
• 如果某一列的每一个单元格中均有石头，则可以将这一列的所有石头移除。

对于满足怎样条件的，可以经过若干次（非零）操作后，使得木板上没有任何石头？

第二天

4. 一个有限的整数集具有以下性质：对于任意，以及的每个正因子，存在唯一的，满足．（和可以相等）求中元素个数的所有可能值．（同USAJMO第5题）
5. 为正整数．求如下元方程组的所有正实数解：

（同USAJMO第6题）

6. 凸六边形满足，，，且

   设，，分别为，，的中点．证明：的外心，的外心和的垂心共线．