从限制条件个数出发的消元法：2018年高联加试P1的详细分析

题目（2018 年全国高中数学联赛加试 P1）

设 为正整数，均为正实数，满足，（)．证明：

思路分析

题目同时出现 对变量和两个整体变量 ，各条件又分布在不同层次．直接展开乘积会迅速产生大量下标，逐项比较也缺少对应关系．一个更自然的入口是先看每个变量参与了多少条约束．参与条件少的变量活动范围更清楚，配合单调性，常常可以直接压到允许区间的边界．到达边界后，相关变量若能从式子中退出，问题的维数就会下降一层．

一、从限制数量寻找入口

对固定的 ，同时受到 与 的限制；既和 相连，又进入整体乘积．相比之下，只出现在条件以及待证式右端．因此 的允许范围最容易描述，先处理 可以最快减少条件的数量．

这种观察和几何中的消点法很接近．一张几何关系图里，某个点只连接少量直线、圆或角关系时，先处理这个点，往往能让整张图迅速变稀疏．代数中可以把变量看成点，把约束看成连线．每完成一次消元，就重新观察剩余变量的连接情况；原来处于次要位置的 变量，也可能在下一层承担主要约束．

二、先把 压到边界

记

由 可知 ，所以当 时， 随 单调不减．

整体乘积条件给出 ．固定 后， 随 增大而增大，最小值出现在 ． 于是右端可压缩成 ，原问题只需继续研究 ．此时 已经离开后续计算，整体乘积条件也被吸收到 中．

三、排序把 的多条限制压成一条

各对 在两个乘积中的地位完全相同，可以同时交换下标． 取 ．原来的便合并为 ．

函数 单调不减，所以允许的 中，给出最小的 右端．问题继续缩成 ．这时 也到达了边界， 最后一对变量开始具备消去的条件．

四、第 对变量从乘积中脱落

把第 对变量单独拆出：

已经完全消失，也不再出现在原来的两个乘积中．剩余变量只有 前 对，右端仍保留 的形式．

排序又给出 ，因此 成为剩余 所有 的共同上界，正好接过 的位置．昔日屠龙少年，终成恶龙：刚刚还属于被消去的第 对变量， 转眼已经成为下一层的上界变量．

五、同一结构开始重复

当前式子是 ．由 以及 的单调性，可以把新的上界继续 压到 ．到达 后，第 对变量按照完全相同的 代数方式从乘积中脱落，随即接过上界角色．

写成第 层的形式，就是

第一行负责去掉第 对变量中的乘积因子，第二行把刚出现的 压到下一层边界．两步交替进行，变量数每次减少一个．

六、消元链的顺序

从变量角色看，整个过程沿着

推进．来自单调性，对应第 对变量从乘积中 脱落，再次来自单调性．每一层都保持同一种函数形式， 所以新的变量无需重新设计处理方法．

七、最后一层

当只剩第一对变量时，，，并且．消元链在这一层落到等号，前面的各层便依次闭合．

接下来只需倒过来，用数学归纳法的方式写出证明即可，留给读者完成．