2024年罗马尼亚国家数学奥林匹克（9-12年级组）

\section*{2024年罗马尼亚国家数学奥林匹克}\subsection*{程国根译}\section*{九年级组}\setcounter{ex}{0}\ex 在$\triangle ABC$中，点$D,E$在边$BC$上，且$D$在$B,E$之间．点$R$在线段$AE$上，$DR$交$AC$于点$P$，$CR$交$AB$于点$Q$，若$PQ$平行于$BC$，则称点$R$是\textbf{特别的}．点$R'$在线段$AD$上，$BR'$交$AC$于点$P'$，$ER'$交$AB$于点$Q'$，若$P'Q'$平行于$BC$，则称点$R'$是\textbf{特别的}．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 若线段$AE$上存在一个\textbf{特别的}点，求证：线段$AE$上的所有点都是\textbf{特别的}．\item 若线段$AD,AE$上都存在一个\textbf{特别的}点，求证：$BD=CE=\varphi\cdot DE$，其中$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$为黄金分割比．\end{enumerate}\vfill\ex 实数$a,b$在区间$(0,1)$内，满足对任意非负整数$n$，都有$\{na\}\ge\{nb\}$．求证：$a=b$．\textbf{注：$\{x\}$表示$x$的小数部分．}\vfill\ex 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意实数$x,y$，都有$$(f(x)-y)f(x+f(y))=f(x^2)-yf(y).$$\vfill\ex $a$为一个给定的正整数．数列$\{x_{n}\}$的通项公式为$x_{n}=\frac{1}{1+na}$，$n\in\mathbb{N}_{+}$．求证：对任意整数$k\ge 3$，存在正整数$n_{1}<n_{2}<\cdots<n_{k}$，使得$x_{n_{1}},x_{n_{2}},\cdots,x_{n_{k}}$为一个等差数列中的连续若干项．\vfill\newpage\section*{2024年罗马尼亚国家数学奥林匹克}\subsection*{程国根译}\section*{十年级组}\setcounter{ex}{0}\ex 求方程的实数解：$$3^{\log_5(5x-10)}-2=5^{-1+\log_3x}.$$\vfill\ex 非退化五边形$ABCDE$满足$AB=BC=CD$，且五边形的中心同时也为外接圆圆心．求证：五边形$ABCDE$为正五边形．\textbf{注：五边形的中心是五边形平面上的一点，其位置向量等于各顶点位置向量的平均值．}\vfill\ex 设正整数$n\ge 2$，函数$f:\{1,2,\cdots,n\}\to\{1,2,\cdots,n\}$满足对任意$k\in\{1,2,\cdots,n-1\}$，都有$f(k)\le f(k+1)\le f(k)+1$，记$\mathcal{F}$为所有满足条件的$f$的集合．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 求$\mathcal{F}$的元素个数．\item 求$\mathcal{F}$中所有函数的不动点个数之和．\end{enumerate}\vfill\ex 整数$n\ge 3$，集合$S=\{1,2,\cdots,n\}$，$\mathcal{F}$为所有从$S$到$S$的函数组成的集合．称$\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$为$\mathcal{H}\subset\mathcal{F}$的\textbf{生成集合}，如果$\mathcal{H}$中的任意函数都能表示为$\mathcal{G}$中若干个函数的复合．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 设函数$a:S\to S$满足$a(n-1)=n$，$a(n)=n-1$，且对任意$k\in S\setminus \{n-1,n\}$，都有$a(k)=k$．函数$b:S\to S$满足$b(n)=1$，且对任意$k\in S\setminus \{n\}$，都有$b(k)=k+1$．求证：$\{a,b\}$为$\mathcal{F}$中所有双射函数组成的集合$\mathcal{B}$的\textbf{生成集合}．\item 求证：$\mathcal{F}$的生成集合中至少有$3$个元素．\end{enumerate}\vfill\newpage\section*{2024年罗马尼亚国家数学奥林匹克}\subsection*{程国根译}\section*{十一年级组}\setcounter{ex}{0}\ex 设$I\subset \mathbb{R}$为开区间，函数$f:I\to\mathbb{R}$二阶可导，且对任意$x\in I$，都有$f(x)f''(x)=0$．求证：对任意$x\in I$，都有$f''(x)=0$．\vfill\ex 设$A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$是一个可逆矩阵．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 求证：$AA^{T}$的特征值为正实数．\item 若存在两个不同的正整数$p$和$q$，使得$(AA^{T})^{p}=(A^{T}A)^{q}$．求证：$A^{T}=A^{-1}$．\end{enumerate}\vfill\ex 设$A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$．定义函数$f:\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$如下：对任意$Z \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$，$f(Z)=AZ+B\bar{Z}$，矩阵$\bar{Z}$中的每一项与$Z$中对应的项互为共轭．求证：下列命题是等价的：\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item $f$是单射．\item $f$是满射．\item $A+B$和$A-B$互为转置．\end{enumerate}\vfill\ex 设函数$f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$满足对任意$x\in\mathbb{R}$，都有$g(x)=2f(x)+f(x^2)$．\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 求证：若$f$在原点的一个邻域有界，且$g$在原点连续，则$f$在原点连续．\item 构造一个在原点不连续的函数$f$，使得$g$在原点是连续的．\end{enumerate}\vfill\newpage\section*{2024年罗马尼亚国家数学奥林匹克}\subsection*{程国根译}\section*{十二年级组}\setcounter{ex}{0}\ex 设连续函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，满足对任意实数$x$，都有$f(x)+\sin(f(x))\ge x$．求证：$$\int_0^{\pi} f(x) \mathrm{d}x \ge \frac{\pi^2}{2}-2.$$\vfill\ex 设$(\mathbb{K},+, \cdot)$为除环，且对任意$x,y\in\mathbb{K}$，都有$x^{2}y=yx^{2}$．求证：$(\mathbb{K},+, \cdot)$是交换环．\vfill\ex 设连续函数$f:[0,1]\to\mathbb{R}$满足$f(1)=0$．求证：极限$$\lim_{t\to 1_{-}} \left( \frac{1}{1-t} \int_0^1x(f(tx)-f(x)) \mathrm{d}x\right)$$存在，并求极限值．\vfill\ex 设$\mathbb{L}$为有$q$个元素的有限域．求证：\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 若$q\equiv 3\pmod{4}$，正整数$n\ge 2$能被$q-1$整除，则对任意$x\in\mathbb{L}^{\times}$，$x^{n}=(x^{2}+1)^{n}$．\item 若存在正整数$n\ge 2$，使得对任意$x\in\mathbb{L}^{\times}$，$x^{n}=(x^{2}+1)^{n}$，则$q\equiv 3\pmod{4}$，且$q-1$整除$n$．\end{enumerate}\vfill