2024年孟加拉过数学奥林匹克

\section*{2024年孟加拉国数学奥林匹克（初中组）}\subsection*{程国根译}\ex 求所有非负整数$x,y$，使得$$x^3y+x+y=xy+2xy^2.$$\vfill\ex 在圆内接四边形$ABCD$中，对角线交点为$E$．$F,G$分别在弦$AC,BD$上，满足$AF=BE$，$DG=CE$．求证：$B,G,F,C$四点共圆．\vfill\ex 实数$a,b$满足$$\frac{a}{a^2-5} = \frac{b}{5-b^2} = \frac{ab}{a^2b^2-5},$$且$a+b\neq 0$，求$a^{4}+b^{4}$．\vfill\ex 设$a_{1},a_{2},\cdots,a_{11}$为整数．求证：存在整数$b_{1},b_{2},\cdots,b_{11}$，满足条件：\begin{itemize}\item 对任意$i\in\{1,2,\cdots,11\}$，$b_{i}\in\{-1,0,1\}$．\item $b_{i}$不同时为$0$．\item $N=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}$能被$2024$整除．\end{itemize}\vfill\ex $X,Y$在直线$PQ$异侧，满足$\triangle XPQ$和$\triangle YPQ$的外接圆半径相等．$I,J$分别为$\triangle XPQ$和$\triangle YPQ$的内心，$M$为$PQ$中点．若$I,M,J$三点共线，求证：$XPYQ$为平行四边形．\vfill\ex 设$a_{1},a_{2},\cdots,a_{2024}$为$1,2,\cdots,2024$的一个排列．求下式的最小值：$$\sum_{i=1} ^{2023} \left[(a_i+a_{i+1})\left(\frac{1}{a_i}+\frac{1}{a_{i+1}}\right)+\frac{1}{a_ia_{i+1}}\right].$$\vfill\ex 设$ABCD$为正方形．点$E,F$分别在边$AB,BC$上，满足$BE=BF$．过点$B$作$CE$的垂线，和$CE,AD$分别交于点$G,H$．直线$FH,CE$交于点$P$，直线$GF,CD$交于点$Q$．求证：$DP\perp BQ$．\vfill\ex 对平面上一个$n$元点集，如果以其中任意$3$点为顶点都能构成一个等腰三角形，则称它是波色$n$点集．求所有正整数$n$，使得存在波色$n$点集．\vfill\ex 求所有正整数组$(k,m)$，使得对任意正整数$n$，都有$$n!\mid (n+m)(n+2m)\cdots(n+km).$$\vfill\section*{2024年孟加拉国数学奥林匹克（高中组）}\subsection*{程国根译}\setcounter{ex}{0}\ex 求所有素数$p,q$，使得$p^{3}-3^{q}=10$．\vfill\ex 同初中组第7题\vfill\ex 同初中组第6题\vfill\ex 同初中组第4题\vfill\ex 设$\triangle ABC$的内心为$I$，点$P$满足$PI\perp BC$，$PA\parallel BC$．平行于$BC$且和$\triangle ABC$内切圆相切的一条直线与$AB,AC$分别交于点$Q,R$．求证：$\angle BPQ=\angle CPR$．\vfill\ex 求所有多项式$P(x)$，满足存在数列$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$，使得对任意正整数$m,n$，都有$$a_{m}+a_{n}=P(mn).$$\vfill\ex 求所有函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$，使得对任意$m,n\in\mathbb{N}$，都有$$f\left(\left \lceil \frac{f(m)}{n} \right \rceil\right)=\left \lceil \frac{m}{f(n)} \right \rceil.$$\vfill\ex 设$k$为正整数．求证：存在无穷多个正整数$n$，使得$\frac{n^{n}-1}{n-1}$至少有$k$个不同的素因子．\vfill\ex 在$\triangle ABC$中，$M$为$BC$的中点．$BC$的中垂线交$\triangle ABC$的外接圆于$K,L$两点（点$K$和点$A$在$BC$异侧）．过点$L,M$的一个圆和$AK$交于$P,Q$两点（点$P$在线段$AQ$上）．设$LQ$和$\triangle KMQ$的另一个交点为$R$．求证：$BPCR$四点共圆．\vfill\ex Juty和Azgor在一个$(2n+1) \times(2n+1)$的棋盘上进行以下对局，Juty先下．最初所有的单元格都被涂成白色．轮到Juty时，她给一个白色单元格涂上绿色，轮到Azgor时，他给一个白色单元格涂上红色．当他们给棋盘上的所有单元格都涂上颜色后，游戏结束．如果所有的绿色单元格都是相连的，即任意两个绿色单元格之间至少有一条相邻的绿色单元格链（如果两个单元格至少有一个角是共用的，我们就称它们为相邻单元格），那么Juty获胜，否则Azgor获胜．确定哪一方有必胜策略．\vfill