2024年加拿大数学奥林匹克资格复活赛

\ex 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$$f(x + f(xy)) = f(x)(1 + y).$$\vfill\ex 如果正整数$N$的三进制表示中没有两个相邻的数码是相同的，则称$N$是好数．例如：$289$是好数，因为它的三进制表示为$1012013$．将所有好数从小到大排列，求第$2024$个好数（用十进制表示）．\vfill\ex 锐角$\triangle ABC$的垂心为$H$，$AB<AC$，$M$为弧$BAC$的中点．已知$B,H,M$三点共线，点$M$到$AB,BC$的距离分别为$1$和$6$．求$\triangle ABC$面积的所有可能值．\vfill\ex 数列$\{a_{n}\}$满足：$a_{1}=\frac{1}{3}$，$a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}$，$n\in\mathbb{N}_{+}$．求证：对任意正整数$n$，$$\frac12 - \frac{1}{3^{2^{n-1}}} < a_1 + a_2 +... + a_n <\frac12 - \frac{1}{3^{2^n}} .$$\vfill\ex 设$S=\{(x,y)\mid 0\le x,y\le 4,x,y\in\mathbb{Z}\}$．在其中随机选取$3$点作为一个三角形的顶点，求三角形面积的平方的数学期望．\vfill\ex 对任意给定的实数$p,q,r$，求方程组$$\begin{cases} a^2 + b + c = p \\a + b^2 + c = q \\a + b + c^2 = r \end{cases}$$的解$(a,b,c)$的组数的最大值．并给出取最大值时的一组$p,q,r$．\vfill\ex \begin{enumerate}[label=\alph*.]\item 在$\triangle ABC$中，$I$为内心，$H$为$\triangle BIC$的垂心．求证：$AH\parallel BC$当且仅当$H$在以$AI$为直径的圆上．\item 在$\triangle ABC$中，$I$为内心，$O$为外心，$H$为垂心．已知$IO=IH$，求证：$\triangle ABC$的内角中必有一个为$60^{\circ}$．\end{enumerate}\vfill\ex 给定一个由X和O组成的序列，序列长度为$N$，其中没有连续三个字符是相同的．Maia可以交换序列中两个相邻的字符，每次交换后，如果产生了连续三个及以上的相同字符，它们将被全部消除，直至不再有连续三个字符是相同的．例如，对初始序列XXOOXOXO，Maia交换第$5$个和第$6$个字符，消除过程如下：$$XXOOOXXO\to XXXXO\to O.$$求$N$的最大值，使得Maia无法保证在一系列交换后，能够消除所有字符．（如果能正确证明$N$的上界和下界，将获得部分分数）\vfill