仿射密码的应用——记一次失败的解题经历

前几天，在群里看到一道题：

第一想法就是构造双射，但当时没细想，忙别的事去了。今晚申强老师来问我，有没有看他的做法（只有8个字“了解一下仿射密码”）。

这里简单介绍一下仿射密码的概念，其实本质就是一种双射，和我的第一想法是一样的。

顺着这个思路我开始思考以下几个问题：

1.怎样的双射f:x→ax+b，能将{4,5,6}映射到{1,4,7}？

2.这样的双射如何保证将19的倍数仍映射到19的倍数？

第一个问题比较好解决，f(x)=3x+3就可以（这个系数3是容易得到的），但构造出的双射无法满足第二个要求，思路陷入了困境。

大强提示我可以构造从{0,1,2,3,7,8,9}到{0,2,3,5,6,8,9}的双射（本质似乎是一样的，原因是此时我还没意识到真正的问题所在）。

再次尝试未果，大强又给出了提示：映射就是f(x)=3x，并问我应该模什么？

我立马顿悟了。要满足第二个要求，显然不能模10，而应该模19，并且构造的双射也应该是f(x)=ax的形式。

所以，是什么让我（以及没反应过来的读者们）在一开始就默认应该模10呢？

最后，放一道类似的能用仿射密码做的竞赛题（2021年百年老校数学竞赛第6题）。