2024年巴西复仇赛

\section*{2024年巴西复仇赛}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\ex 设$M,\alpha,\beta\in\mathbb{R}$，其中$M>0$，$\alpha,\beta\in(0,1)$．若实数$R>1$，称正实数列$\{C_{n}\}_{n\ge 0}$是\textbf{犀牛}数列，如果对任意$n\ge 1$，都有$\sum\limits_{i=1}^{n}R^{n-i}C_{i}\le R^{n}\cdot M$．求最小的实数$R>1$，使得存在一个犀牛数列$\{C_{n}\}_{n\ge 0}$，其满足$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\beta^{n}C_{n}^{\alpha}$发散．\vfill\ex Davi和George正在福塔莱萨进行城市游览，最初由Davi带队．福塔莱萨的布局就像一个$n\times n$的网格．他们从网格中的一个方格开始，可以通过一条街道从一个方格移动到另一个相邻的方格（网格上每一对相邻的方格，都有一条街道将它们连接起来）．有些街道很危险．如果Davi或George通过了危险的街道，他们就会感到害怕，然后换另一个人带队继续游览城市．他们的目标是恰好通过福塔莱萨的每个区域各一次．但是，如果结束城市游览时是George带队，那么全世界都会失业，所有人都会饿死．已知至少一条街道是没有危险的，证明：Davi和George可以实现他们的目标，而不会让所有人都饿死．\vfill\ex 设$n$边形$A_{1}A_{2}\cdots A_{n}$内接于圆$O$，$P,Q$为它的一对等角共轭点（即对任意$i$，都有$\angle PA_{i+1}A_{i}=\angle QA_{i+1}A_{i+2}$，下标模$n$理解）．设$P_{i}$为$\triangle PA_{i}A_{i+1}$的外心，$Q_{i}$为$\triangle QA_{i}A_{i+1}$的外心．求证：\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item $P_{1}P_{2}\cdots P_{n}$和$Q_{1}Q_{2}\cdots Q_{n}$均为圆内接$n$边形，并设圆心分别为$O_{P},O_{Q}$．\item $O,O_{P},O_{Q}$三点共线．\item $O_{P}O_{Q}\parallel PQ$．\end{enumerate}\vfill\ex 求所有正整数$n$，使得$2n=(\varphi(n))^{\frac{2}{3}}\left((\varphi(n))^{\frac{2}{3}}+1\right)$．\vfill\ex Régis、Ed和Rafael去参加IMO．他们将在巴斯进行一场比赛，城市里有$2^n$座房子．Régis和Ed将组队对抗Rafael．游戏规则如下：首先，Régis和Ed想出一个策略，然后让Rafael知道．之后，Régis和Ed不再交流，游戏开始．Rafael决定参观房子的顺序，然后开始按顺序带Régis参观房子．除最后一座房子外，在每座房子里，Régis都会选择一个介于$1$和$n$之间的数字，并把它放在房子里．在最后一座房子里，Rafael从$1$到$n$之间选择一个数字，并把它放在房子里．之后，Ed会看到所有的房子和房子里的数字，他必须猜出Rafael把数字放在了哪个房子里．Ed有$k$次猜测的机会．Ed和Régis有一种策略可以确保Ed正确猜出Rafael把数字放在哪间房子里，那么最小的$k$是多少？\vfill