欧拉分解公式的若干应用

欧拉分解公式：

其中为的根．
由上述公式可以很快推出三元形式的算术-几何均值不等式：
时，．
特别地，当时，有．
下面来看几道与欧拉分解公式有关的题目：

1. 正实数满足

   

   求证：．

证明

于是或

后一式子显然不成立，于是．

2. 已知实数满足，，求的值．

解 设，，则．
由得，即

即

由于

即．

3. 因式分解：．

解

从上题可以看出，欧拉分解公式在处理三次多项式的因式分解问题中，能够发挥一定的作用．事实上，用上题的方法，我们可以推出一元三次方程的求根公式（卡丹公式）．
首先对于一般的一元三次方程

我们可以同除以系数，再作代换，将方程变为

则

故方程的三个解为

其中

欧拉分解公式还出现在很多初高中数学竞赛的很多代数题中，其结构大多比较明显，在使用该公式进行分解后往往会将问题大幅简化，是代数恒等变形中的一大利器．