在数学中，我们把一个代数式中各项的次数都相同的式子称为⻬次式．更严谨的定义如下：设含有变量、、、的(不)等式，如果对任意正数，用、、、去替代、、、所得的(不)等式不改变，则称这个(不)等式是⻬次(不)等式，否则，称这个(不)等式是非⻬次(不)等式．

⻬次式体现了数学的对称之美，有许多重要的乘法公式以及不等式(如完全平方公式、完全立方公式、欧拉恒等式、均值不等式、柯⻄不等式以及Schur不等式)都是⻬次式，所以我们常常把非⻬次式转化为⻬次式来考虑，这样可以化繁为简，达到事半功倍的效果．反过来，对于某些⻬次式，如果我们增加条件(如，)将它非⻬次化，有时也会减少不必要的复杂运算，化难为易．

下面以若干道试题为例，谈谈⻬次化思想在代数变形中的应用．

例题：

1. 若，求．

分析： 这题难度很低，但其中思想值得品味．通过一个非齐次式，将换成，可以进行局部的升次，从而将变为齐次式，拥有了更多的可能性．

解答：

2. (2009年全国初中数学联赛)正实数，，满足下列两个条件：

• ；
• ．

求证：以，，为边长可以构成一个直角三角形．

分析： 若要证明以，，为边长可以构成一个直角三角形，则需要证明或或，也即是证明．这是一个齐次式，而条件中的两个式子都是非齐次式，可以将两式相乘进行齐次化．

证明： 将条件式相乘得： ．

即．

因式分解得：，证毕．

3. 非负实数，，满足，，，求的值．

分析： 和第2题类似．

解答： 由得：，即，也即．展开整理得．又因为，所以，即．

4. 设，，，求的值．

分析： 先令待求式中产生，，，再利用条件进行齐次化．

解答：

5. (2005年中国女子数学奥林匹克）解方程组：

分析： 将中的换成，即可进行齐次化并因式分解．

解答： ．

故条件可变为 ．

设，则，且，即．代入得．

进而 ，即 ．

三式相乘，得，故原方程组有两组解： 和 ．

6. 已知，化简．

分析： 对于这类条件，可设，，由可得．从而进行齐次化．

解答： 同分析中进行换元．

7. (2000年澳门数学奥林匹克)设正实数，，满足．求证：

分析： 若仿照上题换元，则会发现方法失效了．因为本题分母的次数还是比较均匀的，只有一项不齐次．这里选择进行升次后再将代换，进行齐次化．

证明： 设，，，则，即．

于是．

同理有，，三式相加即证．

对于齐次式，将换成，得到，即．因此我们可以不妨设和为，积为等，将问题进行简化．

8. 设是正实数，求证：

分析： 待证式过于复杂，可由齐次性将其中某部分设为常数．

证明： 由齐次性不妨设，故只需证：．

即证．

证毕．

练习：

1. 正实数，满足．证明：．
2. (2019年欧洲女子数学奥林匹克）解方程组：

3. (2000年国际数学奥林匹克)设正实数，，满足．求证：

4. (1984年国际数学奥林匹克)非负实数，，满足．求证：

5. (2003年美国数学奥林匹克) 设，，为非负实数，求证：