代数 2021-12-12 675 字约 2 分钟

32道含绝对值的不等式

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

两个实数列满足，证明
设是任意实数，证明：

设是三个不同的正实数，证明：

（2009年CMO） 给定整数，实数满足．求的最小值．
（2013年CMO） 求所有的正实数，满足：存在一个由实数组成的无限集合，使得对任意的（可以相同），及任意实数与正实数，均有
（2019年CMO） 设实数 , , , 满足 , 且对 , 均有 , 这里 . 记 , , , .
(1) 求的最大值；
(2) 求的最大值．
（1995年CTST） 给实数，求的最小值使得对于任何都有

(2009年CTST） 已知，是正实数，记，．求证：

(2010年高联） 给定整数，设正实数满足，记

求证：

（2017年高联B卷） 设实数满足．令 .证明：
对所有的实数，证明：
对于三个互不相同的实数，按如下方式定义三个实数：：
证明：
并指出等号成立的条件．
设为实数．证明：
已知为正整数．证明：对于任意不全相同的个实数对，有

求所有满足等号成立的正整数并举例．

(1987年IMO） 令是实数，满足条件，求证：对于每一个整数，存在不全为的整数，对于所有的整数使得，并且有
（1997年IMO） 设是满足下列条件的实数且．证明：存在的一个排列，使得
(2003年IMO） 设为正整数，实数满足．

（1）证明：

（2）证明等号成立的充要条件是成等差数列．

（2006年IMO） 求最小的实数，使得对所有的实数，有
设均属于区间，证明：

设实数之和为1且

求证：可以从这100个数中选出50个数，使得它们的和与之差的绝对值不大于．

设，求证：存在满足

设实数满足．求证：
为实数，证明：
已知都是实数，，且．求证：

求证：对任意实数，存在自然数，使得对任意，都有
如果正数与数组 ;;; 使得对任意有，求证：

求证：对任意，有．并确定对于什么样的上式中的等号成立．
给定整数 . 证明：对任意实数 , 都有
设为正整数，实数满足 . 证明：
并指出等号成立的充要条件．
给定正整数和正实数 . 已知实数满足 , . 证明：存在个整数，使得

设为实数．证明：

设为正整数．证明：对于任意不全相同的个实数对，有

约定：；并求所有满足等号成立的正整数

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