20道用阿贝尔变换证明的不等式

阿贝尔分部求和公式：
令，（），则

证明：注意到，则

从而结论成立．以下为一些可以用阿贝尔变换证明的不等式：

1. (阿贝尔不等式)设 ，，，和是实数，记，设，，则

   
2. (排序不等式)设，．，，，为，，，的一个排列，则

3. (改进切比雪夫不等式)设，，，和，，，是实数，且

证明：

4. (Karamata不等式)若，，且，，，，．为一个下凸函数，则

若为上凸函数，则不等号反向．

5. 给定正整数 , 对任意 , 正实数 满足 ，证明:

6. (1978年IMO)已知 是两两不同的自然数, 证明:

7. (1999年APMO)设 是正实数列, 且对所有 , 满足 , 证明:

8. 给定实数 , 记 , 证明:

9. 已知 均为实数, 证明:

10. (钟开莱不等式) 给定整数 , 设 , 且对任意 , 有 , 求证:

• ；
• ．

11. (1994年USAMO)设 是正实数, 且对任意正整数 , 有 , 证明:

12. (2018年清华飞测)对任意 , 设正实数 满足 , 证明:

13. 设 ，证明

    
14. 设 ，且

    

    证明：

15. 对，令与为实数，且满足，

证明：

17. (2013年CTST)设，为给定的大于的整数，非负实数，，，；，，，满足：，，，．求最大值：

    
18. (1987年CTST)已知数列满足：，，．自然数，，，满足．求证：

    
19. (2000年RMO)设 ， ，且

    

    证明

    
20. （1994年USAMO)设 ，，是正实数数列，对所有的满足条件．证明对所有的 ，