2024年LMAO

\section*{2024年LMAO}\section*{第一天}\ex 记$\mathbb{S}$为正整数集$\mathbb{Z}_{+}$的所有非空子集组成的集合．求所有映射$f:\mathbb{S}\to\mathbb{Z}_{+}$，满足以下条件：\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 对任意$A,B\in\mathbb{S}$，有$f(A \cap B) = \text{min}(f(A), f(B))$；\item 对任意正整数$n$，有$\sum \limits_{X \subseteq [1, n]}f(X) = 2^{n+1}-1$．\end{enumerate}\vfill\ex 一场马戏表演由两两不同高度的竹棍组成，竹棍按某种顺序摆放，其中一根竹棍上站着一只猴子。然后，马戏团团长可以向猴子发出以下命令：\begin{itemize}\item 左！：接到这个命令后，猴子会找到离左边最近的、比它当前所在的竹棍高的竹棍，然后跳上去。如果没有这样的竹棍，猴子就会待在原地。\item 右！：接到这个命令后，猴子会找到离右边最近的、比它当前所在的竹棍高的竹棍，然后跳上去。如果没有这样的竹棍，猴子就会待在原地。\end{itemize}马戏团团长声称，给定任意两根竹棍，如果猴子最初站在较短的竹棍上，那么在发出最多$c$个命令后，他可以让猴子站在较高的竹棍上。$c$的最小可能值是多少？\vfill\ex 假设$\Delta_0$是一个等边三角形，其内切圆为$\omega$．将$\omega$上任意一点关于$\Delta_0$的三边对称，得到一个新的三角形 $\Delta_1$．然后同样将该点关于$\Delta_1$的三边对称，得到另一个三角形$\Delta_2$．求证：$\Delta_2$的外接圆与$\omega$相切．\vfill\nextpage\section*{2024年LMAO}\section*{第二天}\ex 设$\triangle ABC$的外心为$O$，$\angle BAC = 60^{\circ}$．$\angle BAC$的内角平分线分别与直线$BC$和$\triangle ABC$的外接圆相交于点$M,L$．设$K$为$BL\cap AC$关于直线$BC$的对称点．点$D$在直线$CO$上，满足$DM\perp KL$．求证：$K,A,D$三点共线．\vfill\ex 求证：存在函数$f:\mathbb{N}_{+}\to\mathbb{N}_{+}$，同时满足如下条件：\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 对任意正整数$m,n$，都有$\gcd(|f(m)-f(n)|, f(mn)) = f(\gcd(m, n))$；\item 对任意正整数$m$，都有$f(f(m))=f(m)$；\item 对任意正整数$k$，存在正整数$n$，使得$2024^{k}\mid f(n)$．\end{enumerate}\vfill\ex 平面上有$n > 1$个不同的标记点．求证：存在一组圆$\mathcal C$，使得\begin{itemize}\item $\mathcal C$中的每个圆半径均为$1$；\item 每个标记点都位于$\mathcal C$中某个圆的内部（不含边界）；\item $\mathcal C$中有少于$0.3n$对圆相交（有两个不同交点）．\end{itemize}注：将 $\it{0.3n}$替换为$\it{cn}$的较弱结果可能会根据常数$\it{c > 0.3}$的值获得部分分数．\vfill