“权重集中引理”在不等式中的应用三例

权重集中引理

设 ，，且对某个整数 有 ，则

证明

由 及 ，

特别地，若 ，则加权和不超过最大的前 个系数之和．

注

引理名字是我自己起的，在使用时需要证明．

一般而言，取小函数，故天然适合作为权重出现．而很多题目中会给出为某个固定整数，因此此类题目常常可以考虑使用本引理进行处理，见下面的第二、 三题．

第一题（2025 年全国高中数学联赛加试 P2）

题目

设 都是正整数，，，实数 满足

证明 ．

思路

若 则结论显然．否则令 ，则 ，且总权重不超过 ．以 为递减系数 应用权重集中引理即可．

证明

若 ，结论成立．以下设 ，令 ．由 ，

对递减系数 应用权重集中引理，

故 ．

第二题（数之谜原创代数 668）

题目

给定整数 ．设 是不全相同的正实数， 满足 ．求 的取值范围．

思路

令 ，则 是整数．固定 后，对 及其反向排列分别应用权重集中引理，可得 的严格上下界； 再证明两个端点之间的值均可取得，最后对 取并集．

解

令 ， ．由平均值为 ，至少有一个 ，故 ．若 ，则所有 都是正整数， 由 得 ，矛盾．因此 ．

固定 ．对 及 分别应用权重集中引理．由于 ，而两组系数均严格递减，端点等号都不可能成立，于是

设 ． 它非空且为凸集，故线性函数 的像是区间．令前 个 趋近于 、其余趋近于 ，可逼近左端点；令后 个趋近于 ， 可逼近右端点．结合端点均不能取得，固定 时的值域恰为 ．反之，对任意 ，取 ， ，则 ， ，且 ，故区间内每个值都能取得．

当 时，，．当 时， 对 ，，故相邻区间两两相交．所以

第三题（数之谜原创代数 698）

题目

求最小的实数 ，使得对任意满足 的非负实数 ，恒有

其中 ．

思路

写 ，其中 ， ，则 是整数．先把原式分成两类关于 的加权和，再分别应用权重集中引理；所得上界只依赖 ，最后求一个三次式的 整数最大值，并构造逼近等号的数列．

解

记 ，， ．于是 ． 若 ，原式为 ；以下设 ，并记左端为 ． 由 ，

记 ．因 ，最大的 个系数对应于 中最小的 项．这些平方数之和在 为奇数时为 ，在 为偶数时更大，故由权重集中引理，

再记 ，并令 ．当 时，最大的 个系数为 ；当 或 时，取全部正系数 再补零即可．权重集中引理给出

第一行最后一步由配方得到；第二行利用 在 上递增； 而 ．

由 ，

令 ．对 ， ；而 ，． 故 在整数点上先增后减，最大值在 处取得，即 ．

为说明上界不能减小，取 ，令

此时恒有 ．因此任意小于 的常数都不能恒成立， 从而 ．

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