n元不等式中的反证法：反设以后得到什么

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反证法能否简化不等式，取决于结论的否定能否增加可用条件。竞赛题中常见的变化包括：从“任意”中抽出一个坏对象；把变量限制到便于比较的区间；由递推式固定相邻项的符号；把“无穷多次成立”改写成“从某项起全部失败”；把“存在一个指标”改写成“所有指标都失败”；把可能逃向无穷远的变量限制在有限范围。最后一种变化还能补上极值法所需的极值存在性。下面六题分别展示这些入口。

坏三元组：从“任意”到一个反例

2004 IMO 第 4 题

设 ，正实数 满足

证明任取三个 都能作为三角形的三边。

分析

结论涉及所有三元组。若结论失败，只需抓住一个不能构成三角形的三元组，重新编号后可设 。记 。展开 后，每对指标产生 ，一般只能由 AM-GM 得到下界 。题设右端的临界量是 ，比通常的 恰好多出 。因此证明的任务十分具体：利用坏三元组，把涉及 的两对贡献从通常的 提高到 。

证明

反设 。有

除 外，其余每对至少贡献 。令 ，则

故 ，与题设矛盾。

区域限制：把变量压到

2025 全国高中数学联赛二试 A 卷第 2 题

设 为正整数，，且 。若 且 ，证明 。

分析

条件控制全部 项，目标只控制前 项，直接估计时尾部难以处理。反设 后，由排序立即得到 ，高次幂于是可以统一降到二次幂： 。再令 ，前 项满足 ，尾项满足 。这时 成为分割前后两段的统一阈值，表达式 也就自然出现：尾部可用 吸收，前部则可用 控制。

证明

反设 ，令 。对 ，有 ，于是

对 ，

由 (1) 求和比较得 ，即 ，矛盾。

符号传播：先排除局部构型

2022 IMO Shortlist A1

设正实数列 满足 。证明 。

分析

整理条件得

右端的符号直接反映 位于 的哪一侧。最终目标只涉及一个远处的项，逐项递推并不方便；更有效的是先证明局部结论“相邻两项不能同时大于 ”。一旦这个局部构型被排除，若 ，它左右两项的符号便同时确定，原递推式可以在目标位置直接产生矛盾。

证明

若 ，由 (2) 得 。因 ， 有 ，故 。 将 (2) 的指标换成 ，又得 ，并且

故 ，矛盾。因此相邻两项不能同时大于 。

若 ，则 。在 (2) 中取 ， 有 ，矛盾。

尾部统一失败：由“无穷多次”到“从某项起”

2017 IMO Shortlist A2

设 为任意正实数列。证明

对无穷多个正整数 成立。

分析

“对无穷多个 成立”的否定具有很强的形式：存在 ，使所有 都满足 。这不是单个指标上的失败，而是一整段尾部同时满足同方向的不等式。先舍去左端的 ，可以得到 的次幂级增长上界；再回到原不等式，误差项 因增长足够慢而趋于 ，从而相邻项最终被迫以接近 的幅度下降。

证明

反设存在 ，使所有 都有 。先舍去左端的 并连乘：

其中 为常数。因此 。再由原不等式

以及 ，可知右端趋于 。故充分大的 都有 。数列从某项起每步至少下降 ，与各项恒正矛盾。

量词转换：由“存在”到“对所有”

2024 IMO Shortlist A3

对任意正实数数列 ，证明至少存在一个正整数 ，使

分析

直接寻找合适的 没有明显线索。否定结论后得到 对所有 成立，于是所有前缀同时具有统一正下界。接下来只需证明 不可能始终远离 。若 无界，前缀最大值会使 沿某个子序列迅速变小；若 有界，分子至多线性增长而分母是一次和的平方，故 。

证明

反设 对所有 成立。令 。由

得 ，故 必有界。设 ，则 ，而 ，从而 ， 仍与统一正下界矛盾。

无穷远的等号：反设后再用拉格朗日乘数法

Gazeta Matematică B 10/1991

设 ，正实数 满足 。证明

分析

约束 的区域无界，直接使用拉格朗日乘数法还缺少极值存在性的说明。 事实上，取 ，当 时左端趋于 ， 无穷远处确有一条逼近等号的路径。若反设某个数组使左端为 ，则其余 项之和小于 ，所以每一项都大于 。这会同时给出所有变量的上、下界， 把反例限制到紧集内；最大值取得以后，再用拉格朗日乘数法。

证明

记 。反设某个数组满足 ， 并考察满足 的数组。对任意 ，

故 ；再由乘积为 得 。因此 在这组反例中取得最大值，且最大值大于 。

在最大点处，对约束 使用拉格朗日乘数法：

方程 关于 至多有两个正根。若只有一个取值，则由乘积条件 ，此时 。否则设 个变量等于 ，其余等于 。 由二次方程的根积有 ，故可写。于是

仍有 ，矛盾。

方法归纳

六道题中，反设分别产生坏子结构、统一区间、符号限制、尾部统一条件、全称下界，以及对无界变量的范围限制。最后一种情形还能保证极值在有限点取得，从而为拉格朗日乘数法补上极值存在性。若反设只得到目标的反向写法，还应继续寻找更具体的中间命题。

精选习题

以下九题按“局部矛盾—递推传播—极值反设—渐近矛盾”的方向逐步展开。部分题还有其他解法；这里关注其中能够独立成篇、且反设确实提供关键条件的路线。

1. 2021 Mongolian MO, Junior P3

固定 。若实数列 对每个 都满足 ，记 。求 的最大值与 的最小值。

2. 2021 Baltic Way P3

求所有正整数列 ，使 。

3. 2023 EGMO P1

设 ，正实数 的下标按模 理解，并令 。已知对任意 ，。证明 。

4. 1988 IMO Shortlist, SWE 2

设非负实数列 满足 且 。证明 。

5. 2023 Baltic Way P2

设 为正实数，且 。证明

6. 2023 CAPS Match P2

设实数 满足 对每个 成立。证明至少有 个指标 满足 。

7. 2024 Belarus–Iran Friendly Competition

设 ，正实数 满足 且 。证明 。

8. 2025 Turkish EGMO Selection Test

判断是否存在无穷正实数列 ，使对每个正整数 都有 且 。

9. 2025 OFM Senior P1

设 为正整数数列，并满足下列条件：任取正整数 ， 若 两两不同，也两两不同，则

证明存在正整数 ，使得对所有 都有 。

习题提示

详细解析见七夕特辑——2020-2026代数100题（更新版）

1

先求 。反设 ，删去最小项和最大项，把其余项之和记为 ； “删去最小项”和“删去最大项”的两个条件会给出相反符号。求 时作变换 。

2

先验证候选 。令 。若 ， 反设 ，递推式会给出矛盾；于是 严格递增且始终低于 。时同理得到严格递减，再利用整数性。

3

反设并非所有 相等。在一段最大值的末端取 ，使 最大且 ，则 ；同序条件推出所有 。 再用 AM-GM 估计 或 。

4

记 。二阶差分条件给出 。 若某个 ，后续差分都保持负且绝对值不减，数列持续增长；得到 后，把 累计到前 项和中。

5

反设目标左端不超过 。先证明至少一个 ，且这样的指标 至多一个；其余 ，再按指数 与 的大小分组比较。

6

可先通过交换逆序对把数列排成非减。设 ，反设 。令，由题设推出 ，再对倒数作递推并求和。

7

由两条和式条件得到 。反设 ，则所有数对的比值和都小于 。对有序数列建立总和上界， 与前式冲突。

8

反设存在。由柯西先估计一次部分和，再把相邻两个部分和的估计相减，得到 的线性下界；代入平方和后，两边关于 的三次项系数不相容。

9

先由题设取一个指标与两个指标，证明数列有界，因此只取有限多个正整数值。 若两个不同的值 都出现无穷多次，可分别选出 个值为 的项与 个值为 的项，题设会给出 ，产生矛盾。 最后再用有限值集合与抽屉原理证明数列最终恒定。