试题来源：小猿高中数学竞赛公众号

第一天

1. ，，，，是两两不同的正整数，且不小于，求

   

   的最小值．

2. 在中，圆为其内切圆，且，为中点，为圆与切点，在上，于点，且、、三点共线，．证明：圆与圆相切．

3. 给定正整数，记，（），，，，是，，，的排列．若对，均有

则称为“好排列”，求所有的好排列个数．

4. 是否存在，使得对，有

第二天

5. 设，为正整数，有根长度为的火柴和一个矩形点阵，矩阵中同行、同列相邻两点的距离也等于．某同学将根火柴互不重叠地放在点阵中，使得所有火柴头恰一一地覆盖了这个点，火柴尾在与火柴头相邻的点上．
   称两根火柴是连接的，如果存在一个以这两根火柴为首尾的序列，序列中相邻两根火柴都有公共交点．称若干根火柴是一个图形，如果图形内的火柴两两连接，图形外的任意一根火柴都不与图形内的火柴连接．
   试问：该同学至多能摆出多少个图形？
6. 试求所有正整数，使得存在正实数，满足对任意正整数，都有

   成立．
7. 设，，，都是单位根，且的模长等于．证明：也是单位根．
8. 给定正整数．设，，，是的个不同的元自己，满足对任意三个不同的，，，都有．证明：