阶乘与斐波那契数列

前段时间有个读者问了一道题：

求所有的正整数，使得能表示为两个斐波那契数之积．

这应该是前两年的一道国外赛题，具体出处记不太清了．主要的想法是说明这样的是有限的，可以通过质因子指数的估计和不等式放缩来证明．当然，关于斐波那契数列的性质也需要熟悉．

解： 设斐波那契数列为：，．先证明以下四个引理：

引理1:．

引理1的证明： ，

若，，则

引理2:．

引理2的证明： 设，．则

引理3: 若，则．

引理3的证明： 容易验证和时的情形．若结论在时成立（），考虑时的情况：

若，则，由归纳假设，有．设，则为偶数．则由引理2:

由于，故，即．

于是．故

由知，故，即．证毕．

引理4: 时，．

引理4的证明： 时，

，，时，也容易验证成立．

回到原题．

若时，存在，，使．

则．

设，，则有，不妨设，则．

则．

．

所以

因此，矛盾．故．

对的情况逐一验证可得：，，，，符合题意．其中

最后的放缩比较宽松，所以得到的范围还是挺大的，可以估计得更细一些，减少枚举量（毕竟太大了）．

文章最后再放一道相关题目，也是用质因子的指数来估计范围，从而证明一个不定方程只有有限组解．

（2019年IMO） 求所有正整数对，满足．