一道复数求值问题的另解及推广

前两天，闫老师发了如下题目：又一道复数相关的求值题

题目 设，，，是的零点，求

本题关键是求出

其中为以，，，为根的四次多项式，且首项系数和相同(也为)．

此时问题变为：已知，，，为某四次多项式的四个根，求以，，，为四个根的四次多项式．

下面考虑更一般的情形：

如果，，，为次多项式的个根，即

则

事实上，以，，，为个根的次多项式可写为：

忽略首项系数的区别，结论成立．

上述过程用到了：

最后出现的实际上就是阶循环矩阵的行列式．我们有如下定理：

设是以个复数，，，为元素的阶循环矩阵，则．其中为复数域上的次多项式，，，，为的个根．

考虑将的各项按次数模分类，可以证明如下结论：

任意多项式可以唯一地表示为

其中

利用上述两个结论化简：

其中

这就得到了我们所需的结论，下面回到原题，来看看这个方法的优势所在．

我们有，．于是

于是

所求出的首项系数为，且

又，，故本题答案为．