2023年瑞士IMO国家队选拔考试

\section*{2023年瑞士IMO国家队选拔考试}\flushright 程国根译\section*{第一天}\ex \textbf{2022年IMO预选题C1}\ex 设$S$是一个由正整数组成的非空集合，满足条件：若$n$在$S$中，则$2^{n}+1$的所有正约数也在$S$中．求证：$S$中存在一个形如$(p_{1}p_{2}\cdots p_{2023})^{2023}$的数，其中$p_{1},p_{2},\cdots,p_{2023}$为互不相同的素数，且均大于$2023$．\ex \textbf{2022年IMO预选题G5}\newpage\section*{2023年瑞士IMO国家队选拔考试}\flushright 程国根译\section*{第二天}\ex 设$\triangle ABC$和$\triangle AMN$顺相似，且不互相重叠，满足$AB=AC$，$AM=AN$．设点$O$为$\triangle MAB$的外心．求证：$O,C,N,A$四点共圆当且仅当$\triangle ABC$为正三角形．\ex 东京地铁系统是世界上最高效的地铁系统之一。已知存在正奇数 $k$，使得每条地铁线恰经过$k$个车站，每个车站也恰被$k$条地铁线经过。人们只需搭乘一条地铁线，就可以从任意车站到任意的另一个车站，但这种连接方案是唯一的。此外，任意两条地铁线都恰经过同一个地铁站。\\David正在为IMO参赛队伍策划一次远足，他想参观一个由$k$个车站组成的集合$S$．David发现$S$中没有三个车站位于同一条地铁线上。证明：存在一个不在$S$中的车站，它通过不同的地铁线与$S$中的每个车站相连。\ex \textbf{2022年IMO预选题A5}\newpage\section*{2023年瑞士IMO国家队选拔考试}\flushright 程国根译\section*{第三天}\ex 求所有首一实系数多项式$P(x)=x^{2023}+a_{2022}x^{2022}+\dots+a_1x+a_0$，满足$a_{2022}=0$，$P(1)=1$，且$P$的所有根均为小于$1$的实数．\ex \textbf{2022年IMO预选题G4}\ex 图$G$的每个顶点处均写有一个整数，已知任意两个整数在$G$中均由有限条边相连接．对整数$x$和$y$，定义$d(x,y)$为连接$x$和$y$所需边数的最小值．已知对任意整数$x,y$，都有$d(x,y)\mid x-y$．设$S(G)=\{d(x,y)\mid x,y\in\mathbb{Z}\}$，求集合$S(G)$的所有可能情况．\section*{第四天}\ex \textbf{2022年IMO预选题N3}\ex \textbf{2022年IMO预选题A6}\ex \textbf{2022年IMO预选题C5}