几道与圆幂有关的问题

1. 和为相交两圆，它们的一条公切线和切于点，和切于点．求证：和的公共弦所在直线平分线段．

证明：

设公共弦所在直线与交于点，则在和的根轴上，于是对两圆的幂相等，即，也即．

2. 设为以线段为直径的半圆上一点，为弧的中点．过点作的垂线交延长线于点，线段和半圆交于点．求证：平分线段．

证明：

记以为直径的圆为，以为直径的圆为．由知过点．

由知和相切．于是为和的公切线，而为和的公共弦．

由第1题知：平分线段．

3. 设，，为圆上三点，且．过点和点的切线交于点．和再次交于点．求证：平分线段．

证明：

设的外接圆为．由第1题：只需证和相切．

事实上：

由弦切角定理的逆定理即证．

4. (2000年IMO) 圆，交于，两点．两圆的一条外公切线分别与，切于点，．过且与平行的直线分别与，交于不同于的点，．设直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点．求证：．

证明：

设交于点．由第1题知：为的中点．

因为平行于，由线束定理，为中点．

由于，，于是和关于对称．

故，结合为中点知：．

5. 为锐角三角形．过作的垂线，和以为直径的圆交于，两点；过作的垂线，和以为直径的圆交于，两点．求证：，，，四点共圆．

证明：

设为在上的射影，为的垂心．

由知，点在以为直径的圆上．由圆幂定理：

同理

于是

即，，，四点共圆．

6. 锐角的垂心为．在边、上分别取点、．设以为直径的圆和以为直径的圆交于、两点．求证：，，三点共线．

证明：

只需证在两圆的根轴上，即证明对两圆的幂相等．

设、为的两条高．由知点在以为直径的圆上．于是点对以为直径的圆的幂为．

同理点对以为直径的圆的幂为．

由知，，，四点共圆，于是．证毕．

7. (欧拉定理) 设的外心为，内心为外接圆半径为，内切圆半径为．求证：．

证明：

延长交的外接圆于点．于是点对的幂为

证毕．

8. (1998年USAMO) 和为同心圆，在内部．设为上一点，为上一点，且和相切．延长交于点，为的中点．过作直线和交于，两点，使得的中垂线和的中垂线交于直线上一点．求的值．

解答：

易知为中点．

由圆幂定理：．于是，，，四点共圆，记为．

弦和中垂线的交点必为的圆心．

由于在上，故为的一条直径，即为的中点．因此

即．

9. 点、点分别为的边、上一点，且平行于．为内部任意一点，、分别和交于点、．和的另一个交点为．求证：、、三点共线．

证明：

设的外接圆和再次交于点，的外接圆和再次交于点．

只考虑和在线段和上的情形，其余情形类似．

由知，、、、四点共圆，同理、、、四点共圆．

于是、、、、五点共圆．

因此，即、、、四点共圆．由圆幂定理：

即点对和的外接圆等幂，因此在它们的根轴上，即、、三点共线．

10. (1995年IMO) 设、、、是按顺序在一条线上的四个不同的点．分别以和为直径的圆交于和．直线交于．设是直线上不同于的一点．直线交以为直径的圆于和，直线交以为直径的圆于和．求证：直线、、共点．

证明：

由圆幂定理：

于是、、、四点共圆．

由题意知：．

于是

即、、、四点共圆．

因此、、分别为圆、、两两的根轴，所以三线共点于根心．

更多圆幂相关问题，可以参考金磊老师编著的《圆幂与根轴》一书．