几道用线性代数解决的问题

线性无关： 称向量，，，是线性无关的，如果当且仅当．

1. (Putnam 2003 B1) 是否存在多项式，，，，使得

   

   恒成立？

解答：

考虑由全体实系数多项式组成的线性空间，其一组基底为．

若存在满足题意的多项式，，，．分别令，，，得：

即多项式，，均为和的线性组合，然而这三个多项式线性无关，故无法被，两个多项式线性表出，矛盾！

因此不存在满足题意的多项式，，，．

注： 上述证明过程只要求和为多项式，和可为任意函数．

2. 为一个的矩阵，且满足对任意，都有．求证：是可逆矩阵．

证明：

即证的个列向量线性无关．

假设结论不成立，即存在不全为零的实数，，，，使得对任意，，，，都有

矛盾！于是原结论成立．

注： 这样的矩阵称为对角占优矩阵．

3. （奇数镇）设一个小镇有位居民和个俱乐部．每个俱乐部有奇数个成员，任意两个不同俱乐部之间有偶数个公共成员．求证：．

分析： 这里要处理的是的问题，所以我们考虑只有个元素的数域．

证明：

对任意，，，，以表示居民和第个俱乐部的关系，即的第个元素为当且仅当第个居民在俱乐部中，的第个元素为当且仅当第个居民不在俱乐部中．

于是和的内积即为第个俱乐部的成员数，和的内积即为第个俱乐部和第个俱乐部的公共成员数．

于是由每个俱乐部有奇数个成员知，对任意，在中，．由任意两个不同俱乐部之间有偶数个公共成员知，对任意，在中，．

下证：，，，线性无关．

若存在，，，，使得

与作内积知：

于是对任意，，，，都有，这就说明了，，，线性无关．

于是，，，为为线性空间中个线性无关的向量，故．

4. 设为正整数．一个小镇中有个居民，个俱乐部．每两个不同俱乐部之间恰有个公共成员．求证：．

证明：

设向量，，，，满足的第个元素为当且仅当第个居民在俱乐部中，的第个元素为当且仅当第个居民不在俱乐部中．

于是对任意，都有．（这就是本题不再在中考虑的原因）

下证：，，，线性无关．

否则，若存在不全为零的，，，，使得

则

由于任意两个不同俱乐部之间恰有个公共成员，每个俱乐部均至少有个成员，即对任意，都有．

于是非负，即上面的不等式等号恰好成立．

由于，，，不全为零，且，故存在某个，使得，即第个俱乐部恰有个成员．因此其余俱乐部和第个俱乐部的公共成员恰为第个俱乐部中的个成员，并且两两之间不再有其它公共成员．

于是剩余个居民至多属于一个俱乐部，因此至多还有个俱乐部．

俱乐部总数．