2024年BxMO第4题分析——一道由abc猜想而来的数论题

2024年BxMO第4题如下：

对每个正整数，记为的所有不同素因子之积．求证：存在整数，满足，且

题目背景：

1. 的含义

这里的叫做正整数的根数（radical），下面举几个例子：

特别地，定义的根数．

2. abc猜想

设正整数满足，且，考察和的大小关系．

可以发现，在大多数情况下，，但也有无数组，使得．例如：

更一般地，对于

有，其中为大于的素数．

由欧拉定理显然，读者可以自行验证．（这一过程很重要，后面还会用到）

abc猜想的标准形式如下：

设正整数满足，且，则，仅存在有限组，使得

abc猜想在1985年被Joseph Oesterlé和David Masser提出，2012年时，日本数学家望月新一宣称证明了此猜想，但迄今为止，尚未证实整个证明是准确无误的。

3. 本题与abc猜想的关系

由2知，满足的有无穷多组，但只给出了的构造．

本题进行了加强，要求

且要求给出的一组构造．

分析：

对，要想尽可能小，我们希望中都有尽可能多的相同素因子．主要有下面两个思路：

1. 让均为一个素数的幂．

2. 让均为一个数的平方，考虑勾股方程的通解．

解答1:

模仿背景2中的构造，可取，，则．

于是，．

由欧拉定理：，于是

因此．

取足够大的素数，使得，即即可．

解答2:

考虑勾股方程的通解：

简单起见，取，即

为使素因子尽可能相同，可取，即

取，，．

则．现在希望

两边量级相同，但右边分母太大，所以希望能够再分解出一些相同的素因子．

考虑LTE引理：

设，．对任意奇素数，若，且，，有

取一个奇素数，使得，可取，于是有

为使中有尽可能多的素因子，可考虑让，于是，即．因此

取足够大的，使得，即即可．

后记：

本题还有很多的构造方法，但大同小异，读者可以自行尝试．

总体来说，这题背景深刻，但考察的内容只是数论中的基本知识，难度相对较低，是一道非常有趣的数论问题．