一个n元不等式的引理

在昨天的文章中，有一道题目的等价形式如下：

题目1 ，，，为非负实数，且．求证：

将题目1稍作改编，次数变为，并变为元形式，可得到下面的题目2．

题目2 设，，．求

为解决题目2，我们考虑一个更一般的结论：

引理 ，，．求证：

以下是引理部分情况的证明（非原创）：

我们证明且“不太小”时，不等式成立．

（1）若存在正整数，使．则

由均值不等式，有

当，时，等号成立．

（2）若存在正整数，使．则

由轮换性不妨设为所有的中最小的那个．于是由均值不等式：

取等条件同上．

（3）若存在正整数，满足，或，，使．则仍有

由轮换性不妨设为所有的中最大的那个．于是由均值不等式：

取等条件同上．

，的情形比较简单，读者可以自行证明．至此我们完成了题目2的证明．

其余情形的证明在此略去，欢迎与作者交流．

特别地，令，注意到

推论 设，．则有

应用此推论可解决多道国内外竞赛题，例如以下四题．

题目3 设整数（），非负实数，，，满足

题目4 且．求证：

题目5 ，且．求的最小值．
(题目4的元推广)

题目6 给定整数．设，，，，，，，是个非负实数，满足

且对任意，有（这里，，

解答明天再写，建议先自己思考。