最近做的一些代数原创题

这是近期在数之谜上做的一些原创题，其中最后两题为我几年前发的原创题，最近补上了解答。晚上用2022年高联A1卷几何的向量证法&我做的一个手稿转录skill对手稿进行了转录，顺便给skill加了个转markdown格式的功能。将转录好的解答一并发出来，原手稿可以在数之谜对应题目评论区找到。

个人认为，虽然AI改变了数学研究和数学教育，但作为竞赛教练，更加应该坚持自己做题的习惯，保持手感和解题能力。

第一题（数之谜原创代数 692）

题目

设 是正整数，是非负实数．证明：

2. 对任意 ，

思路

反复使用 ，可得 ．第一问把 放缩为 ；第二问在 时利用 ．若变量和已经达到右端常数，则结论直接成立．

证明

对 ，有

这是由 反复应用得到的．

对于第一问，若 ，则结论显然成立．以下设 ，于是 ．对任意 ，

因此

故

对于第二问，若 ，则结论成立．以下设 ，于是 ．由 得，且

从而

故

第三题（数之谜原创代数 684）

题目

给定整数 ．设非负实数

满足

求最小的实数 ，使得总有

其中 ．

思路

先取 、其余为 ，得到 ．为证明上界，记 ，先证明循环相邻乘积和，从而把左端压到 ．再利用单调性 以及 完成估计．

解

取

此时题设条件成立，且左端为 ，而 ，故

下面证明 总是可行．记

由 得

先证

若 为偶数，令

每个循环相邻乘积都出现在 的展开式中，因此

若 为奇数，令

的展开式包含除 外的全部循环相邻乘积，并额外包含 ．由于 ，仍有

记题目左端为 ．由

可得

又因为 对 成立，

于是

故总有 ，结合下界例子，最小值为

第二题（数之谜原创代数 678）

题目

给定整数 ．设非负实数 满足

求

的最大值，其中 ．

思路

设 、，并用循环总变差 控制 ．另一方面，．于是原式只需估计成 ，再用 即可．

解

令

沿圆周从一个最小项走到一个最大项，再沿另一条弧返回最小项，两段总变差都至少为 ，故

又因 ，所以

同时，

因此

当 时取到等号．故最大值为

第六题（ZZS一试模拟）

题目

设 ，，并记

证明

其中下标按模 理解，即 ．

思路

先把右端的两个和相乘，用 得到统一上界．左端的循环分式和用 Hölder 不等式处理，再分别估计 与 ．最后两边都化成 的倍数，条件 恰好完成比较．

证明

记

由于

故

由 AM-GM，

另一方面，由 Hölder 不等式，

先估计分子．有

再估计分母．由 AM-GM 及幂平均不等式，

所以

因此左端满足

而右端满足

由于 ，有 ，故左端不小于右端．命题得证．

第四题（数之谜原创代数 180）

题目

设 为正实数．对 ，记

并定义

求最小常数 ，使得恒有

思路

同时按同一比例缩放全部 ，不等式保持不变，因此可令 ．把每一项看成矩形的面积乘以函数 的一个下端估计，这些矩形互不相交并落在三角形中．上界由二重积分得到，而取 时原和式成为同一积分的黎曼和，从而常数最优．

解

把所有 同时乘以同一正数，不变，且每一分式的分子、分母同时乘以该正数的平方．故不妨设

令 ．对 、，定义矩形

由 知 ．因此对任意 ，有

故所有这些矩形两两内部不交，并都包含在

中．又 ，且在 上有 ，于是

求和得到

所以 ．

另一方面，取

此时 、，原和式为

当 时，这是区域 上函数 的黎曼和，因此

故任何更小的常数都不成立．因此

第五题（数之谜原创代数 27）

题目

设 ，正实数 满足

证明

思路

令 ，把目标化为二次和与乘积的混合估计．取最大的 ，再以其余 个数的几何平均数 为中心， 用一个对数型估计控制 ．随后用加权 AM-GM 把问题压缩为 关于 的单变量不等式，最后由导数判断其最大值在 取得．

证明

令

则

将原不等式平方并整理，等价于证明

不妨设 ，并写成

由于最大值不小于平均值，且其余各项均为正数，

令

于是 ．先用如下估计：若 ，则

事实上，当 时，