十年级

第一天

1. Alexey和Bogdan用两堆石头进行游戏．开始时，其中一堆中有块石头，第二堆是空的．从Bogdan开始，两人轮流进行操作．每次操作时，可以从其中任意一堆中捡起偶数块石头（大于零），将其中一半转移到另一堆中，另一半从游戏中移除．当某玩家无法操作时，其被判负．如果双方都尽力取胜，谁会赢得这游戏？
2. 用表示所有系数为一个排列的次多项式的集合．求所有的自然数组，使得存在，满足对任意多项式，均能被整除．
3. 对正实数，求证：

   
4. 设的外心为，内心为，垂心为．直线和分别交的外接圆于另一点和．若，求证：的外心在上．

第二天

5. 求所有由连续个整数组成的集合，其中，使得其中一个数等于其余所有数之和．
6. 圆和交于点和点，且分别于一个以为圆心的圆相切于点和点．已知，，三点共线，求证：点在的外角平分线上．
7. 整数数列，，，中，每个数字出现不超过次．求证：存在没有公共元素的两个严格递增的子列，，，和，，，，使得对于任意，都有．
8. 给定一个自然数．求证：总能选取的个约数（可以相同），使得其和恰好为．（这里为小于且和互素的正整数个数．）

十一年级

第一天

1. 已知对于某些整数，，，，，当为任意整数时，表达式

   

   均能被整除．是否，，，，中的每一个数均能被整除？
2. 求所有自然数，使得对于任意的边形，总可以选择其个顶点，将其边界分成三部分，而这三部分的长度能构成一个三角形．
3. 同十年级第4题
4. 求所有的函数，使得对于任意的和，均有

   

第二天

5. 是否存在自然数，满足方程？
6. 在中，，，为三条高．点为点在上的投影．求证：过顶点作的陪位中线平分线段．
7. 同十年级第8题
8. 有个砝码，其质量都为到的整数克，砝码质量可以相同．已知将这些砝码任意分成两堆时，总有一堆的总质量不超过．这个砝码的总质量的最大可能值是多少？